Applicazione lineare con polinomio

[lewis1]

Salve a tutti.
Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio? Sono in stallo nella prima metà

ESERCIZIO
Si consideri l'applicazione $T : RR_3[t] rarr RR_3[t]$, definita da
$T(a + bt + ct^2+ dt^3) = a + (a-2c)t + (b-d)t^3$.

1) Dimostrare che T è lineare (e fini qui no problem)
2) Trovare la dimensione e una base di Ker(T)
3) Trovare dimensione e una base di Im(T)
4) Trovare autovalori ed autospazi di T
5) Discutere la diagonalizzabilità di T.

RISOLUZIONE.
Dunque...come ho scritto sopra il punto 1 non comporta problemi.

2) Allora...valuto T(P) = 0 cioè
$a + (a-2c)t + (b-d)t^3 = 0$ e risolvo il sistema da cui ottengo a= 0, c=0 e b=d; ora devo ssotituire questi valori nel polinomio generico p, giusto?
Quindi ottengo $ t + t^3$, e la base è

$B_(ker) = {t + t^3}$ e dim(Ker) = 1

Fin qui è giusto?

3) Allora...
$dim(Im) = dim(RR_3 [t]) - dim (ker) = 4 - 1 = 3$
Ma come trovo una base per l'immagine?
Non riesco a capire come procedere con i polinomi...

4) Per trovare autovalori e autospazi devo scrivere la matrice associata all'applicazione T, e per far questo valuto T negli elementi della base canonica...ma qual è la base canonica?

Grazie per l'aiuto

_L_

[cirasa]

2) Ok.

4) La base canonica è formata dai quattro polinomi:
$p_1=1$, $p_2=t$, $p_3=t^2$, $p_4=t^3$.

3) Un sistema di generatori di $"Im"T$ è $T(p_1),T(p_2),T(p_3),T(p_4)$. Da questi devi estrarne quelli linearmente indipendenti per trovare una base di $"Im"T$.
(Come per ogni applicazione lineare $f:V\to W$ per cui $"Im"f=$ dove $v_1,...,v_n$ è una base di $V$)