Applicazione lineare con parametro
considerata l'applicazione lineare $f: RR^3 -> RR^4$ definita $f(x,y,z) = (hx, (h-1)^2 x + z , y+ (h-1)z, x+hy + z^2)$
determinare i valori di h per i quali l'applicazione è lineare.
So che bisogna verificare le due proprietà:
1) $f(v+u) = f(v) + f(u)$
2) $f(av) = af(v)$ (a scalare)
ma come trovo i valori di h?? non dovrei trovarlo prima di verificare le proprietà?
determinare i valori di h per i quali l'applicazione è lineare.
So che bisogna verificare le due proprietà:
1) $f(v+u) = f(v) + f(u)$
2) $f(av) = af(v)$ (a scalare)
ma come trovo i valori di h?? non dovrei trovarlo prima di verificare le proprietà?
Risposte
Li trovi proprio imponendo le condizioni di linearità 
.
Paola
.Paola
potresti indicarmi come applicare le proprietà 
come devo procedere? io stavo cercando di sommare i vari termini ma non penso sia giusto...devo ipotizzare due vettori a piacere? sono un pò confuso....
come devo procedere? io stavo cercando di sommare i vari termini ma non penso sia giusto...devo ipotizzare due vettori a piacere? sono un pò confuso....
Ad esempio, per la proprietà 1): siano $v=(x,y,z), w=(x',y',z')$ due vettori del dominio.
Applicando la definizione di $f$ si ottiene:
$f(v+w)=(h(x+x'),(h-1)^2(x+x') + z+z',y+y'+(h+1)(z+z'), x+x'+h(y+y')+(z+z')^2)$
$f(v)+f(w)=(hx+hx', (h-1)^2 x + (h-1)^2 x'+z+z',y+y' + (h-1)z + (h-1)z', x+x' +hy+hy' +$
$z^2+z'^2)$
Questi due membri devono essere uguali. L'ultima coordinata ci mostra che ciò non è possibile, nemmeno scegliendo particolari valori di $h$. Quindi possiamo concludere che la soluzione al problema è $\emptyset$ ovvero non c'è $h$ per cui questa applicazione sia lineare.
Paola
Applicando la definizione di $f$ si ottiene:
$f(v+w)=(h(x+x'),(h-1)^2(x+x') + z+z',y+y'+(h+1)(z+z'), x+x'+h(y+y')+(z+z')^2)$
$f(v)+f(w)=(hx+hx', (h-1)^2 x + (h-1)^2 x'+z+z',y+y' + (h-1)z + (h-1)z', x+x' +hy+hy' +$
$z^2+z'^2)$
Questi due membri devono essere uguali. L'ultima coordinata ci mostra che ciò non è possibile, nemmeno scegliendo particolari valori di $h$. Quindi possiamo concludere che la soluzione al problema è $\emptyset$ ovvero non c'è $h$ per cui questa applicazione sia lineare.
Paola
uhm non ho capito cosa intendi per "'ultima coordinata ci mostra che ciò non è possibile"
Non è vero che $(z+z')^2 =z^2 + z'^2 $ per ogni $z,z'$. Quando eguagli le ultime coordinate ti viene questa condizione falsa.
Paola
Paola
ok ok ti ringrazio 
in un altro esercizio ho questa applicazione: f(x,y,z) = (x+y+h+1, z+ (h+1) x^2)
f(u+w) = (x+x' + y+y' + 2h+2 , z+z'+ (h+1)(x^2+x'^2)
f(u) + f(w) = (x+x' + y+y' + 2h+2 , z+z' + (h+1) x^2 + (h+1) x'^2)
sino qui è giusto il procedimento? poi non so come procedere...devo eguagliare ogni termine?
f(u+w) = (x+x' + y+y' + 2h+2 , z+z'+ (h+1)(x^2+x'^2)
f(u) + f(w) = (x+x' + y+y' + 2h+2 , z+z' + (h+1) x^2 + (h+1) x'^2)
sino qui è giusto il procedimento? poi non so come procedere...devo eguagliare ogni termine?
Sì devi uguagliare ogni coordinata corrispondente e affinché sia lineare devi ottenere delle condizioni (compatibili) su $h$ in modo che l'eguaglianza sia vera $\forall u,w$.
Naturalmente specifico che perché l'applicazione sia lineare devono valere entrambe le proprietà 1) e 2).
Paola
Naturalmente specifico che perché l'applicazione sia lineare devono valere entrambe le proprietà 1) e 2).
Paola
uguagliando tutti i termini ottengo 0=0 o sbaglio??
Per lo stesso motivo del precedente esercizio ottieni la condizione $h+1=0$.
Ora verifica se con questa condizione viene rispettata anche 2).
Paola
Ora verifica se con questa condizione viene rispettata anche 2).
Paola
non riesco a ricondurmi ad h+1= 0...da dove lo ricavi?
Dall'imposizione $(h+1)(x+x')^2=(h+1)(x^2 + x'^2)$ dell'ultima coordinata.
Paola
Paola
ma come ho scritto prima in
f(u+w) = (............................(h+1)(x^2 + x'^2)
e in
f(u) + f(w) = (........................(h+1)x^2 + (h+1)x'^2)
da dove trovo la relazione che hai scritto tu? messo in evidenza? dove precisamente?
chiedo scusa, ma vorrei capirlo bene...
f(u+w) = (............................(h+1)(x^2 + x'^2)
e in
f(u) + f(w) = (........................(h+1)x^2 + (h+1)x'^2)
da dove trovo la relazione che hai scritto tu? messo in evidenza? dove precisamente?
chiedo scusa, ma vorrei capirlo bene...
$(h+1)x^2 + (h+1)x'^2 = (h+1)(x^2 + x'^2)$, questa è roba da scuole medie, non da sezione università.
Paola
Paola
mi sembra più che evidente che risolvendo l'uguaglianza, si annullano tutti i termini...e non si ottiene h+1 = 0....dunque?
L'errore è nei tuoi calcoli : quando fai $f(u+w)$ viene $(h+1)(x+x')^2$, come ho segnalato qui:
Paola
"prime_number":
Dall'imposizione $(h+1)(x+x')^2=(h+1)(x^2 + x'^2)$ dell'ultima coordinata.
Paola
Paola
"prime_number":
Ad esempio, per la proprietà 1): siano $v=(x,y,z), w=(x',y',z')$ due vettori del dominio.
Applicando la definizione di $f$ si ottiene:
$f(v+w)=(h(x+x'),(h-1)^2(x+x') + z+z',y+y'+(h+1)(z+z'), x+x'+h(y+y')+(z+z')^2)$
$f(v)+f(w)=(hx+hx', (h-1)^2 x + (h-1)^2 x'+z+z',y+y' + (h-1)z + (h-1)z', x+x' +hy+hy' +$
$z^2+z'^2)$
Paola
mi è venuto un dubbio....quando si fa $f(v+w)$ nell'ultimo termine sommando si ha $ z^2+ z'^2 $ e poi perchè è possibile portare il quadrato fuori?
Ricorda che $v+w=(x+x',y+y',z+z')$. Secondo la definizione di $f$ l'ultima coordinata di $v+w$ va elevata al quadrato, quindi ottieni $(z+z')^2$.
Paola
Paola
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