Applicazione lineare con numeri complessi,dubbio sulla base
Ciao a tutti. 
vorrei chiedervi un aiuto su questo esercizio capitatomi all'esame.
L'applicazione lineare era: L(x,y)$\Rightarrow$[ix-y,iy,x]
Bisognava trovare la matrice associata all'applicazione lineare(questo era il primo punto dell'esercizio).Se fosse stato in R avrei semplicemente trovato le immagini dei vettori delle basi canoniche e la matrice sarebbe stata quella che aveva come colonne tali immagini.Ma per i numeri complessi che base avrei dovuto scegliere?mi spiego la base canonica non e':e1=(1,0)?...
Grazie a tutti
vorrei chiedervi un aiuto su questo esercizio capitatomi all'esame.
L'applicazione lineare era: L(x,y)$\Rightarrow$[ix-y,iy,x]
Bisognava trovare la matrice associata all'applicazione lineare(questo era il primo punto dell'esercizio).Se fosse stato in R avrei semplicemente trovato le immagini dei vettori delle basi canoniche e la matrice sarebbe stata quella che aveva come colonne tali immagini.Ma per i numeri complessi che base avrei dovuto scegliere?mi spiego la base canonica non e':e1=(1,0)?...
Grazie a tutti
Risposte
Dipende dal campo degli scalari che consideri. Se consideri come campo degli scalari $RR$ la tua base "canonica" sarebbe dovuta essere $B={((1),(0)),((i),(0)),((0),(1)),((0),(i))}$. Se consideri come campo degli scalari $CC$ la tua base "canonica" sarebbe dovuta essere $B={((1),(0)),((0),(1))}$.
ma non dovrebbe essere il contrario?comunque se il campo base e' R,la funzione nella base canonica come diventa?
Non dovrebbe essere il contrario e spero che questo esempio possa essere chiaro.
Considera $RR$ come campo degli scalari: come puoi rappresentare il vettore $((i),(3+i))$? Se avessi come base solamente la base \(\mathcal B\)$={((1),(0)),((0),(1))}$ sarebbe impossibile: non esistono combinazioni lineari di quei vettori che possano generarti il vettore $((i),(3+i))$. Se prendessi invece come base \(\mathcal B\)$={b_1=((1),(0)),\ b_2=((i),(0)),\ b_3=((0),(1)),\ b_4=((0),(i))}$ allora potresti e le coordinate sarebbero $((0),(1),(3),(1))$.
Considera ora $CC$ campo degli scalari: come puoi rappresentare il vettore $((i),(3+i))$? La base canonica \(\mathcal B\)$={((1),(0)),((0),(1))}$ è sufficiente, e le coordinate saranno $((i),(3+i))$ visto che entrambe $in CC$.
A questo punto scriviamo la matrice rappresentativa $A_L$ di $L$ usando $RR$ campo degli scalari. Nota che lo spazio in arrivo presenta 3 componenti in $CC$: quindi avrai bisogno di una base di 6 elementi, che sarà, ad esempio,
\(\mathcal C\)$={((1),(0),(0)),((i),(0),(0)),((0),(1),(0)),((0),(i),(0)),((0),(0),(1)),((0),(0),(i))}$. Come base dello spazio di partenza può essere comodo usare la base
\(\mathcal B\)$={((1),(0)),((i),(0)),((0),(1)),((0),(i))}$
Detto questo dovresti aver in mano tutti gli strumenti per poter scrivere $A_L$, che io metto in spoiler.
Considera $RR$ come campo degli scalari: come puoi rappresentare il vettore $((i),(3+i))$? Se avessi come base solamente la base \(\mathcal B\)$={((1),(0)),((0),(1))}$ sarebbe impossibile: non esistono combinazioni lineari di quei vettori che possano generarti il vettore $((i),(3+i))$. Se prendessi invece come base \(\mathcal B\)$={b_1=((1),(0)),\ b_2=((i),(0)),\ b_3=((0),(1)),\ b_4=((0),(i))}$ allora potresti e le coordinate sarebbero $((0),(1),(3),(1))$.
Considera ora $CC$ campo degli scalari: come puoi rappresentare il vettore $((i),(3+i))$? La base canonica \(\mathcal B\)$={((1),(0)),((0),(1))}$ è sufficiente, e le coordinate saranno $((i),(3+i))$ visto che entrambe $in CC$.
A questo punto scriviamo la matrice rappresentativa $A_L$ di $L$ usando $RR$ campo degli scalari. Nota che lo spazio in arrivo presenta 3 componenti in $CC$: quindi avrai bisogno di una base di 6 elementi, che sarà, ad esempio,
\(\mathcal C\)$={((1),(0),(0)),((i),(0),(0)),((0),(1),(0)),((0),(i),(0)),((0),(0),(1)),((0),(0),(i))}$. Come base dello spazio di partenza può essere comodo usare la base
\(\mathcal B\)$={((1),(0)),((i),(0)),((0),(1)),((0),(i))}$
Detto questo dovresti aver in mano tutti gli strumenti per poter scrivere $A_L$, che io metto in spoiler.
Finalmente l'ho capito..comunque grazie mille sei stato veramente chiaro 
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