Applicazione lineare con cambiamento di base

[thedarkhero]

Siano V,W spazi vettoriali, $v={v_1,v_2,v_3}$ base di V, $w={w_1,w_2,w_3}$ base di W.
Sia $v'={v_1'=v_1+v_2,v_2'=-v_1+v_2-v_3,v_3'=v_1+3v_2+v_3}$.
Sia $phi$ applicazione lineare definita da $phi(v_1')=w_1+w_3$, $phi(v_2')=-2w_2+w_3$, $phi(v_3')=-w_1+2w_2$.
Devo descrivere la matrice di $phi$ nelle basi v,w, determinarne kernel e immagine.

La matrice che ho trovato è la composta della matrice di $phi$ nelle basi v',w e della matrice di cambiamento di base v',v ovvero:
$((1,0,-1),(0,-2,2),(1,1,0))((1,-1,1),(1,1,3),(0,-1,1))=((1,0,0),(-2,-4,-4),(2,0,4))$
Il kernel è il solo vettore nullo e di conseguenza l'immagine è generata dalle tre colonne della matrice risultante.
Giusto?
Altra domanda: cambiando la base di V cambierà anche il kernel (in generale, non in questo esempio), ma la dimensione rimarrà la stessa, corretto?

[mistake89]

"thedarkhero":Siano V,W spazi vettoriali, $v={v_1,v_2,v_3}$ base di V, $w={w_1,w_2,w_3}$ base di W.
Sia $v'={v_1'=v_1+v_2,v_2'=-v_1+v_2-v_3,v_3'=v_1+3v_2+v_3}$.
Sia $phi$ applicazione lineare definita da $phi(v_1')=w_1+w_3$, $phi(v_2')=-2w_2+w_3$, $phi(v_3')=-w_1+2w_2$.
Devo descrivere la matrice di $phi$ nelle basi v,w, determinarne kernel e immagine.

La matrice che ho trovato è la composta della matrice di $phi$ nelle basi v',w e della matrice di cambiamento di base v',v ovvero:
$((1,0,-1),(0,-2,2),(1,1,0))((1,-1,1),(1,1,3),(0,-1,1))=((1,0,0),(-2,-4,-4),(2,0,4))$
Il kernel è il solo vettore nullo e di conseguenza l'immagine è generata dalle tre colonne della matrice risultante.
Giusto?

Sì, il ragionamento è giusto, ma non ho verificato i calcoli

Altra domanda: cambiando la base di V cambierà anche il kernel (in generale, non in questo esempio), ma la dimensione rimarrà la stessa, corretto?

Sì, e questo puoi giustificarlo con il teorema relativo alla dimensione di un'applicazione lineare. Infatti, poiché la $dim$$Im=3$ e sapendo che $dimV'=dimKer+dimIm$ ottieni che il $ker$ è banale... a patto ovviamente di conservare la dimensione di $V'=3$
Ti faccio notare però che non cambia solo il $ker$ ma tutta la tua applicazione.
Per il teorema di esistenza di un'applicazione lineare sai che essa è univocamente determinata in base a come si comporta sui vettori di base. Se fai variare la base $v$ ma gli assegni la stessa immagine, otterrai una nuova applicazione lineare.

[Ichigo_901]

Mi interessa lo svolgimento per intero potresti postarlo dato che tra un pò ho un appello e voglio esercitarmi? grazie