Applicazione lineare composta
Salve a tutti, spero che qualcuno riuscirà/avra la voglia di aiutarmi 
Promblema: Siano $f_a : R^3 -> R^2 e g_a : R^2 -> R^3$ applicazioni lineari così definite:
$f_a (e_1) = 5e'_1 + a e'_2 , f_a (e_2)= 5e'_1 - 5e'_2 , f_a (e_3)=e'_1 - e'_2$
$g_a (e'_1)= e_1 - e_2 + ae_3 g_a(e'_2)= e_1 + e_2 - 6e_3$
1) Posto $\varphi = f_a ° g_a$ Scrivere la matrice $ A_varphi$ associata a $\varphi$
2) determinare $dim Im_\varphi$ al variare di a e determinarne una base
3) discutere la diagonalizzabilità di $\varphi$
4) diagonalizzarla quando $a=-2$
Svolgimento:
== Ovviamente l'applicazione è posta già rispetto alla base canonica di $R^3$ e di $R^2$
ricavo le due matrici $A_(f_a) = ((5,a),(5, -5),(1, -1))$ e $A_(g_a) = ((1, -1, a),(1, 1, -6))$
La matrice associata all'applicazione posso ricavarla facendo il prodotto matriciale tra le due matrici
ricavo così:
$A_\varphi = ((5+a, a-5, -a),(0, -10, 5a + 30),(0, -2, a+6))$
== Per determinare la dimensione dell'immagine di $\varphi$ considero la matrice $A_\varphi$ e ne calcolo il rango, il rango corrisponderà al numero di vettori linearmente indipendenti che ne caratterizzano la base. Calcolo quindi il determinante di $A_\varphi = (5+a)(-10a - 60 + 10a + 60) = 0 AA a$ il rango $\rho(A) <=2$
in questo caso però posso trovare due minori di $A_\varphi$ cioè i minori : $(A_13)^13$ e $(A_23)^23$, pongo i determinanti di questi tre minori uguali a zero, trovo due valori di a per ciascun minore (-5,-6) e (-5. 6). Ricavo che i due minori si annullano contemporaneamente nel caso $a=-5$
così facendo posso dire che nel caso in cui $a=-5$ la matrice ha rango = $1$.
Una base di A la ricavo considerando le colonne linearmente indipendenti (in relazione al rango).
== La diagonalizzabilità di $\varphi$ la studio analizzando la matrice $A_\varphi - \lambda I_n$, studiandone in particolare il determinante $det(A_\varphi - \lambda I_n)= (5-a- \lambda) ((\lambda)^2 + 9a - a^2 - 11\lambda + 90)$
Ricavo $\lambda= (-11 \pm sqrt(121 - 4(90-a^2 + 9a)))/2$.
ottengo quindi il caso $\Delta < 0$ ottengo un solo autovalore $\lambda = 5-a$ (con a che ricavo proprio dal porre $\Delta = 0$), nel caso di $\Delta = 0$ ricavo due $\lambda$ che devo verificare abbiano molteciplità algebrica uguale alla propria molteplicità geometrica nel caso di $\Delta >0 $ ottengo due radici reali e distinte, avranno tutte quindi molteplicità 1 sia geometrica che algebrica e quindi la matrice diagonalizzata sarà quella matrice diagonale con i 3 autovalori sulla diagonale principale.
== Nel caso di $\varphi_-2$ semplicemente sfrutto quanto trovato prima, mi riconduco ad uno dei tre casi studiati prima e risolvo il problema.
Promblema: Siano $f_a : R^3 -> R^2 e g_a : R^2 -> R^3$ applicazioni lineari così definite:
$f_a (e_1) = 5e'_1 + a e'_2 , f_a (e_2)= 5e'_1 - 5e'_2 , f_a (e_3)=e'_1 - e'_2$
$g_a (e'_1)= e_1 - e_2 + ae_3 g_a(e'_2)= e_1 + e_2 - 6e_3$
1) Posto $\varphi = f_a ° g_a$ Scrivere la matrice $ A_varphi$ associata a $\varphi$
2) determinare $dim Im_\varphi$ al variare di a e determinarne una base
3) discutere la diagonalizzabilità di $\varphi$
4) diagonalizzarla quando $a=-2$
Svolgimento:
== Ovviamente l'applicazione è posta già rispetto alla base canonica di $R^3$ e di $R^2$
ricavo le due matrici $A_(f_a) = ((5,a),(5, -5),(1, -1))$ e $A_(g_a) = ((1, -1, a),(1, 1, -6))$
La matrice associata all'applicazione posso ricavarla facendo il prodotto matriciale tra le due matrici
ricavo così:
$A_\varphi = ((5+a, a-5, -a),(0, -10, 5a + 30),(0, -2, a+6))$
== Per determinare la dimensione dell'immagine di $\varphi$ considero la matrice $A_\varphi$ e ne calcolo il rango, il rango corrisponderà al numero di vettori linearmente indipendenti che ne caratterizzano la base. Calcolo quindi il determinante di $A_\varphi = (5+a)(-10a - 60 + 10a + 60) = 0 AA a$ il rango $\rho(A) <=2$
in questo caso però posso trovare due minori di $A_\varphi$ cioè i minori : $(A_13)^13$ e $(A_23)^23$, pongo i determinanti di questi tre minori uguali a zero, trovo due valori di a per ciascun minore (-5,-6) e (-5. 6). Ricavo che i due minori si annullano contemporaneamente nel caso $a=-5$
così facendo posso dire che nel caso in cui $a=-5$ la matrice ha rango = $1$.
Una base di A la ricavo considerando le colonne linearmente indipendenti (in relazione al rango).
== La diagonalizzabilità di $\varphi$ la studio analizzando la matrice $A_\varphi - \lambda I_n$, studiandone in particolare il determinante $det(A_\varphi - \lambda I_n)= (5-a- \lambda) ((\lambda)^2 + 9a - a^2 - 11\lambda + 90)$
Ricavo $\lambda= (-11 \pm sqrt(121 - 4(90-a^2 + 9a)))/2$.
ottengo quindi il caso $\Delta < 0$ ottengo un solo autovalore $\lambda = 5-a$ (con a che ricavo proprio dal porre $\Delta = 0$), nel caso di $\Delta = 0$ ricavo due $\lambda$ che devo verificare abbiano molteciplità algebrica uguale alla propria molteplicità geometrica nel caso di $\Delta >0 $ ottengo due radici reali e distinte, avranno tutte quindi molteplicità 1 sia geometrica che algebrica e quindi la matrice diagonalizzata sarà quella matrice diagonale con i 3 autovalori sulla diagonale principale.
== Nel caso di $\varphi_-2$ semplicemente sfrutto quanto trovato prima, mi riconduco ad uno dei tre casi studiati prima e risolvo il problema.
Risposte
è giusto lo svolgimento?
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