Applicazione lineare biiettiva

[lupielia]

E data l’applicazione lineare ` L : R3 → R3, L(x, y, z) = (x − z, −y + pz, −x + y), dove p è un parametro reale. Si determinino i valori di p per i quali (a) L è biiettiva; (b) L raddoppia i volumi.
Come si procede? Grazie mille in anticipo!

[Bokonon]

Innanzitutto scrivi la matrice associata.
Cosa significa che un'applicazione è biettiva?
Cosa significa il determinante?

[lupielia]

so che la matrice associata è
1 0 -1
0 -1 p
-1 1 0

Come proseguo ora?

[Bokonon]

Ragiona
Se rispondi alle domande saprai cosa fare

[lupielia]

So che una funzione è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva. Ma come faccio a vederlo in questo esercizio? aiutooo

[Bokonon]

"lupielia":So che una funzione è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva. Ma come faccio a vederlo in questo esercizio? aiutooo

E' esatto...casualmente hanno appena postato questo viewtopic.php?f=37&t=197055
Leggilo e trai una conclusione!

[Bokonon]

...avrai capito dal suggerimento che l'applicazione è biettiva solo quando è invertibile.
Quindi per essere invertibile, quale caratteristica dovrà avere la matrice associata L?

[Bokonon]

Lupielia, sei in preda al panico vedo. Hai postato nel gruppo sbagliato e ripetutamente.
Inoltre, visto che sei nuova, devi sapere che c'è un regolamento per cui dovresti usare l'editor per inserire le formule (ma vabbè in questo caso erano chiare ugualmente) e dovresti fare uno sforzo risolutivo.
Così stai solo rischiando di essere buttata fuori dal forum.

Ma visto che hai l'esame domani, in via eccezionale, mi perdoneranno se rispondo un po' a tutto.
Il primo punto significa che l'applicazione è biettiva quando è invertibile. Ed è invertibile se la matrice associata ha rango pieno o equivalentemente il determinante diverso da zero. Quindi prendi la matrice associata e usa Gauss-Jordan per determinare quali valori di p azzerano i pivot, oppure calcolane il determinante e ponilo diverso da zero. Tutto qua.

Per il secondo punto, l'applicazione raddoppierà i volumi quando il suo determinante è pari a 2. Quindi prendi il determinanate che hai calcolato prima e ponilo uguale a 2.