Applicazione Lineare
Buongiorno a tutti!
In vista dell'esame di Algebra Lineare mi sto esercitando con un po' di prove d'esame e mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Ora, ho provato a risolverlo ma ho dei dubbi sulla correttezza dello svolgimento e spero possiate aiutarmi.
Risoluzione:
Ogni vertice della casetta posso scriverlo come una coppia ordinata di due elementi: $ (x,y) in R^2 $, inoltre so che la generica applicazione in $R^2$ si scrive: $ F(v) = Mv$ ovvero $ F(x,y)= (( A , B ),( C, D ) ) ( ( x ),( y ) ) = (( Ax+By ),( Cx+Dy )) $ dove $M$ è la matrice associata all'applicazione.
Dunque mi ritrovo i seguenti vertici: $ {(-9,0), (-9,6), (-5,8), (-1,6), (-1,0)}$.
Prendo due vettori indipendenti del precedente insieme: ${(-1,6),(-5,8)}$ e so che l'immagine di $(-1,6)$ deve arrivare in $(1,6)$ mentre $(-5,8)$ in $(5,8)$.
Sostituendo per ognugno dei due vertici mi ritrovo:
$ F(-1,6)= ( ( A , B ),( C, D ) ) ( ( -1 ),(6 ) ) = (( -A+6B ),( -C+6D )) = ((1),(6))$
e:
$ F(-5,8)= ( ( A , B ),( C, D ) ) ( ( -5 ),(8) ) = (( -5A+8B ),( -5C+8D )) = ((5),(8))$
Ora, ponendo a sistema ottengo:
$ { ( -A+6B = 1 ),( -C+6D = 6 ),( -5A+8B = 5 ),( -5C+8D = 8 ):} $ $->$ $ { (A = 6B - 1 ),(C = 6D - 6 ),( -5(6B-1)+8B = 5 ),( -5(6D-6)+8D = 8 ):} $ $->$ $ { (A = - 1 ),(B = 0 ),( C = 0 ),( D = 1 ):} $
Sostituendo nell'applicazione generica:
$ F(v) = Mv$ ovvero $ F(x,y)= (( -1 , 0 ),( 0, 1 ) ) ( ( x ),( y ) ) = (( -x ),( y )) $ e $M$ è la matrice associata cercata.
In teoria questa sarebbe un'applicazione lineare che mantiene la struttura della casetta se non per il semplice fatto che la ribalta sull'asse y (ma dato che è simmetrica potrei fregarmene? sparo cavolate?y.y), ovviamente per via delle immagini scelte all'inizio come punto d'arrivo dei vertici.
I miei dubbi quindi nascono per via del ribaltamento, ma questo è l'unico modo che ho trovato per risolvere l'esercizio.
Purtroppo lavorando full time in una città lontana da quella dell'università, non ho il piacere di confrontarmi con compagni e docenti, perciò mi appello a voi e a un vostro commento
Grazie a presto
In vista dell'esame di Algebra Lineare mi sto esercitando con un po' di prove d'esame e mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Ora, ho provato a risolverlo ma ho dei dubbi sulla correttezza dello svolgimento e spero possiate aiutarmi.
Risoluzione:
Ogni vertice della casetta posso scriverlo come una coppia ordinata di due elementi: $ (x,y) in R^2 $, inoltre so che la generica applicazione in $R^2$ si scrive: $ F(v) = Mv$ ovvero $ F(x,y)= (( A , B ),( C, D ) ) ( ( x ),( y ) ) = (( Ax+By ),( Cx+Dy )) $ dove $M$ è la matrice associata all'applicazione.
Dunque mi ritrovo i seguenti vertici: $ {(-9,0), (-9,6), (-5,8), (-1,6), (-1,0)}$.
Prendo due vettori indipendenti del precedente insieme: ${(-1,6),(-5,8)}$ e so che l'immagine di $(-1,6)$ deve arrivare in $(1,6)$ mentre $(-5,8)$ in $(5,8)$.
Sostituendo per ognugno dei due vertici mi ritrovo:
$ F(-1,6)= ( ( A , B ),( C, D ) ) ( ( -1 ),(6 ) ) = (( -A+6B ),( -C+6D )) = ((1),(6))$
e:
$ F(-5,8)= ( ( A , B ),( C, D ) ) ( ( -5 ),(8) ) = (( -5A+8B ),( -5C+8D )) = ((5),(8))$
Ora, ponendo a sistema ottengo:
$ { ( -A+6B = 1 ),( -C+6D = 6 ),( -5A+8B = 5 ),( -5C+8D = 8 ):} $ $->$ $ { (A = 6B - 1 ),(C = 6D - 6 ),( -5(6B-1)+8B = 5 ),( -5(6D-6)+8D = 8 ):} $ $->$ $ { (A = - 1 ),(B = 0 ),( C = 0 ),( D = 1 ):} $
Sostituendo nell'applicazione generica:
$ F(v) = Mv$ ovvero $ F(x,y)= (( -1 , 0 ),( 0, 1 ) ) ( ( x ),( y ) ) = (( -x ),( y )) $ e $M$ è la matrice associata cercata.
In teoria questa sarebbe un'applicazione lineare che mantiene la struttura della casetta se non per il semplice fatto che la ribalta sull'asse y (ma dato che è simmetrica potrei fregarmene? sparo cavolate?y.y), ovviamente per via delle immagini scelte all'inizio come punto d'arrivo dei vertici.
I miei dubbi quindi nascono per via del ribaltamento, ma questo è l'unico modo che ho trovato per risolvere l'esercizio.
Purtroppo lavorando full time in una città lontana da quella dell'università, non ho il piacere di confrontarmi con compagni e docenti, perciò mi appello a voi e a un vostro commento
Grazie a presto
Risposte
'sto esercizio del gattino l'ho visto postato altre volte.
Per prima cosa prova a cercarlo.
Per prima cosa prova a cercarlo.
Certo che va bene.
Non è l'unico modo. Riesci a trovare gli altri ?
Poi c'è da mandare il gatto dentro la casa... io farei in modo che stia un po' comodo, senza che le orecchie tocchino il tetto... no ?
Non è l'unico modo. Riesci a trovare gli altri ?
Poi c'è da mandare il gatto dentro la casa... io farei in modo che stia un po' comodo, senza che le orecchie tocchino il tetto... no ?
Evvai!
Ora ci penso, nel pomeriggio ti do la risposta!
Grazie infinite Quinzio ne avevo proprio bisogno di questa conferma!
A dopo!
Ora ci penso, nel pomeriggio ti do la risposta!
Grazie infinite Quinzio
ne avevo proprio bisogno di questa conferma!A dopo!
Eccomi!
Un'altro modo sarebbe quello di considerare $ F((x),(y))$ e trovare due funzioni lineari omogenee tale che i vertici della casetta abbiano ascissa e ordinata sempre positiva. La prima considerazione da fare è che i vertici della casa hanno tutti ascissa negativa perciò l'unico modo di ottenere una funzione omogenea con la richiesta suddetta è moltiplicare $x$ per $-1$.
Inoltre le ordinate della casa hanno tutti valore positivo perciò una funzione omogenea potrebbe essere quella di considerare $y$ stesso.
Dunque abbiamo ottenuto l'applicazione lineare richiesta: $F((x),(y))= ((-x),(y))$.
La matrice associata secondo la base canonica è data incolonnando le coordinate di $F(e)$:
$F(e1) = F(1,0) = (-1,0) = -1e1 + 0e2$
$F(e2) = F(0,1) = (0,1) = 0e1 + 1e2$
ovvero:
$ ( ( -1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $.
Un'altro modo sarebbe quello di considerare $ F((x),(y))$ e trovare due funzioni lineari omogenee tale che i vertici della casetta abbiano ascissa e ordinata sempre positiva. La prima considerazione da fare è che i vertici della casa hanno tutti ascissa negativa perciò l'unico modo di ottenere una funzione omogenea con la richiesta suddetta è moltiplicare $x$ per $-1$.
Inoltre le ordinate della casa hanno tutti valore positivo perciò una funzione omogenea potrebbe essere quella di considerare $y$ stesso.
Dunque abbiamo ottenuto l'applicazione lineare richiesta: $F((x),(y))= ((-x),(y))$.
La matrice associata secondo la base canonica è data incolonnando le coordinate di $F(e)$:
$F(e1) = F(1,0) = (-1,0) = -1e1 + 0e2$
$F(e2) = F(0,1) = (0,1) = 0e1 + 1e2$
ovvero:
$ ( ( -1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $.
Il problema ora sorge per la richiesta seguente:
Avrei considerato la seguente applicazione: $F((x),(y))=((-x),(y/2))$ che rispetta il rango e spedisce il gatto nella casa ma si perdono le proporzioni così facendo... del resto, il testo non dice che è obbligatorio mantenerle. Che ne pensate?
Avrei considerato la seguente applicazione: $F((x),(y))=((-x),(y/2))$ che rispetta il rango e spedisce il gatto nella casa ma si perdono le proporzioni così facendo... del resto, il testo non dice che è obbligatorio mantenerle. Che ne pensate?
"Godjackal":
ovvero:
$ ( ( -1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $.
Che però è quello di prima.
Un'altro modo può essere
$ ( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) ) $
anche se la casetta viene ribaltata.
"Godjackal":
Il problema ora sorge per la richiesta seguente:
Avrei considerato la seguente applicazione: $F((x),(y))=((-x),(y/2))$ che rispetta il rango e spedisce il gatto nella casa ma si perdono le proporzioni così facendo... del resto, il testo non dice che è obbligatorio mantenerle. Che ne pensate?
Che può andare. Forse è necessario restringere un po' anche l'ascissa.
Si, in effetti sarebbe meglio $F((x),(y))=((-x/2),(y/2))$.
Grazie mille dei consigli Quinzio. Mi hai aperto un mondo
A presto, buona giornata!
Grazie mille dei consigli Quinzio. Mi hai aperto un mondo
A presto, buona giornata!
"Godjackal":
Mi hai aperto un mondo
Ne sono felice.
Quinzio, non vorrei abusare della tua disponibilità ma se puoi, potresti dirmi se il seguente esercizio è corretto?
Risoluzione grafico a):
$A = (2,3), B = (4,6), C = (6,3), D = (2,0), E=(6,0)$
$F(A) = (8,3), F(B) = (10,6), F(C) = (12,3), F(D)=(2,0), F(E)=(6,0)$
Applicazione generica:
$F(v) = Av$
Quindi troviamo A:
$F(2,3) = ((a,b),(c,d))((2),(3)) = (( 8),(3))$ $->$ $ { ( 2a+3b = 8 ),( 2c+3d=3 ):} $
$F(6,3) = ((a,b),(c,d))((6),(3)) = ((12),(3))$ $->$ $ { ( 6a+3b = 12 ),( 6c+3d=3 ):} $
$ { ( a = 1 ),( b = 2 ),( c = 0 ),( d = 1 ):} $
Perciò la trasformazione in a) è indotta dall'applicazione seguente:
$F(v) = Av -> F(x,y)= ( ( 1 , 2 ),( 0 , 1 ) )((x),(y)) = (( x+2y ),( y )) $
Risoluzione grafico b):
$A=(2,0),B=(6,0), C = (6,4),D = (4,6), E = (2,4)$
$F(A)=(-1,0), F(C) = (-7,-3), F(D) = (-5,-5), F(E) = (-3,-3),$
Applicazione generica:
$F(v) = Av$
Quindi troviamo A:
$F(2,4) = ((a,b),(c,d))((2),(4)) = ((-3),(-3))$ $->$ $ { ( 2a+4b = -3 ),( 2c+4d=-3 ):} $
$F(6,4) = ((a,b),(c,d))((6),(4)) = ((-7),(-3))$ $->$ $ { ( 6a+4b = -7 ),( 6c+4d=-3 ):} $
$ { ( a = -1 ),( b = -1/4 ),( c = 0 ),( d = -3/4 ):} $
Perciò la trasformazione in b) è indotta dall'applicazione seguente:
$F(v) = Av -> F(x,y)= ( ( -1 , -1/4 ),( 0 , -3/4 ) )((x),(y)) = (( -x -1/4 y),( -3/4 y )) $
ma $ F(A)= F(2,0) = (-2,0) != (-1,0)$ così come per $F(B)$.
Dunque la trasformazione in b non è data da nessuna applicazione lineare in $R^2 -> R^2$
Risoluzione grafico c):
$A =(-2,0), B=(-6,0)$
$E = (2,4), D = (4,6), C = (6,4)$
$F(E) = (-10,5), F(D) = (-16,8), F(C) = (-14,7)$
Per E,D,C si vede subito che la trasformazione è indotta da:
$F(v) = Av -> F(x,y)= (( -x -2y ),( x/2 +y ))$
ma non è verificata per $A$ e $B$.
Conclusione: le trasformazioni in a) sono indotte da un'applicazione lineare in $R^2 -> R^2$ mentre le trasformazioni in b) e in c) no .
Il punto b dell'esercizio è dato dalla corrispettiva matrice associata dell'applicazione generica ($A$).
Il punto c dell'esercizio rimane per me un mistero... so che una combinazione convessa è una combinazione lineare dove tutti gli scalari sono maggiori di $0$ e la loro somma è uguale a $1$. Ma come posso applicarlo alle matrici? Dovrei calcolare ogni vettore colonna dell'applicazione come combinazione convessa dei vettori colonna dell'identità, poi incolonnare il risultato come matrice e dunque trovarne il rango?
Saluti
Risoluzione grafico a):
$A = (2,3), B = (4,6), C = (6,3), D = (2,0), E=(6,0)$
$F(A) = (8,3), F(B) = (10,6), F(C) = (12,3), F(D)=(2,0), F(E)=(6,0)$
Applicazione generica:
$F(v) = Av$
Quindi troviamo A:
$F(2,3) = ((a,b),(c,d))((2),(3)) = (( 8),(3))$ $->$ $ { ( 2a+3b = 8 ),( 2c+3d=3 ):} $
$F(6,3) = ((a,b),(c,d))((6),(3)) = ((12),(3))$ $->$ $ { ( 6a+3b = 12 ),( 6c+3d=3 ):} $
$ { ( a = 1 ),( b = 2 ),( c = 0 ),( d = 1 ):} $
Perciò la trasformazione in a) è indotta dall'applicazione seguente:
$F(v) = Av -> F(x,y)= ( ( 1 , 2 ),( 0 , 1 ) )((x),(y)) = (( x+2y ),( y )) $
Risoluzione grafico b):
$A=(2,0),B=(6,0), C = (6,4),D = (4,6), E = (2,4)$
$F(A)=(-1,0), F(C) = (-7,-3), F(D) = (-5,-5), F(E) = (-3,-3),$
Applicazione generica:
$F(v) = Av$
Quindi troviamo A:
$F(2,4) = ((a,b),(c,d))((2),(4)) = ((-3),(-3))$ $->$ $ { ( 2a+4b = -3 ),( 2c+4d=-3 ):} $
$F(6,4) = ((a,b),(c,d))((6),(4)) = ((-7),(-3))$ $->$ $ { ( 6a+4b = -7 ),( 6c+4d=-3 ):} $
$ { ( a = -1 ),( b = -1/4 ),( c = 0 ),( d = -3/4 ):} $
Perciò la trasformazione in b) è indotta dall'applicazione seguente:
$F(v) = Av -> F(x,y)= ( ( -1 , -1/4 ),( 0 , -3/4 ) )((x),(y)) = (( -x -1/4 y),( -3/4 y )) $
ma $ F(A)= F(2,0) = (-2,0) != (-1,0)$ così come per $F(B)$.
Dunque la trasformazione in b non è data da nessuna applicazione lineare in $R^2 -> R^2$
Risoluzione grafico c):
$A =(-2,0), B=(-6,0)$
$E = (2,4), D = (4,6), C = (6,4)$
$F(E) = (-10,5), F(D) = (-16,8), F(C) = (-14,7)$
Per E,D,C si vede subito che la trasformazione è indotta da:
$F(v) = Av -> F(x,y)= (( -x -2y ),( x/2 +y ))$
ma non è verificata per $A$ e $B$.
Conclusione: le trasformazioni in a) sono indotte da un'applicazione lineare in $R^2 -> R^2$ mentre le trasformazioni in b) e in c) no .
Il punto b dell'esercizio è dato dalla corrispettiva matrice associata dell'applicazione generica ($A$).
Il punto c dell'esercizio rimane per me un mistero... so che una combinazione convessa è una combinazione lineare dove tutti gli scalari sono maggiori di $0$ e la loro somma è uguale a $1$. Ma come posso applicarlo alle matrici? Dovrei calcolare ogni vettore colonna dell'applicazione come combinazione convessa dei vettori colonna dell'identità, poi incolonnare il risultato come matrice e dunque trovarne il rango?
Saluti
Ok, mi rispondo da solo nel caso servisse a qualcuno:
Matrice identità, $ID=((1,0),(0,1))$
Matrice associata all'applicazione di a), $A=((1,2),(0,1))$
dobbiamo trovare $a,b in R$ tali che $a,b >= 0$ e $a + b = 1$.
Dunque poniamo:
$det(aID+bA) != 0$
$det(aID+bA) = (a+b)^2$ che si annulla se e solo se $a=-b$ ma le condizioni ci oppongono che $a,b >= 0$ dunque si ha che $a =-b$ se e solo se $a = b = 0$ dunque la condizione diventa $a,b > 0$ e $a+b=1$ e la combinazione convessa per tali $a,b in R$ ha rango massimo.
Matrice identità, $ID=((1,0),(0,1))$
Matrice associata all'applicazione di a), $A=((1,2),(0,1))$
dobbiamo trovare $a,b in R$ tali che $a,b >= 0$ e $a + b = 1$.
Dunque poniamo:
$det(aID+bA) != 0$
$det(aID+bA) = (a+b)^2$ che si annulla se e solo se $a=-b$ ma le condizioni ci oppongono che $a,b >= 0$ dunque si ha che $a =-b$ se e solo se $a = b = 0$ dunque la condizione diventa $a,b > 0$ e $a+b=1$ e la combinazione convessa per tali $a,b in R$ ha rango massimo.
Aspetta...
quello che devi fare è:
prendere due punti e ricavare una possibile matrice di trasformazione utilizzando le loro immagini. Questo è quello che hai fatto e va bene. Però a questo punto devi controllare tutti i rimanenti punti per vedere se tramite la matrice che hai trovato ottieni le immagini esatte (quelle sul grafico dell'insieme di arrivo).
Dovresti trovare che a) e b) non sono ottenibili tramite trasformazioni lineari.
c) forse (penso di si ma dovrei controllare)
quello che devi fare è:
prendere due punti e ricavare una possibile matrice di trasformazione utilizzando le loro immagini. Questo è quello che hai fatto e va bene. Però a questo punto devi controllare tutti i rimanenti punti per vedere se tramite la matrice che hai trovato ottieni le immagini esatte (quelle sul grafico dell'insieme di arrivo).
Dovresti trovare che a) e b) non sono ottenibili tramite trasformazioni lineari.
c) forse (penso di si ma dovrei controllare)
Azz... hai ragione.
Infatti ecco gli errori trovati nel grafico a):
Grafico a):
$F(v)=Av→F(x,y)=((1,2),(0,1))((x),(y))=((x+2y),(y))$
Verifichiamo che ogni vertice è trasformato correttamente secondo l'applicazione lineare trovata:
Vertici: $A=(2,3),B=(4,6),C=(6,3),D=(2,0),E=(6,0)$
Immagini ricavate dal grafico: $F(A)=(8,3),F(B)=(10,6),F(C)=(12,3),F(D)=(2,0),F(E)=(6,0)$
Immagini ricavate usando l'applicazione lineare trovata:
$F(2,3) = ((1,2),(0,1))((2),(3)) = ((8),(3)) ->$ verificata
$F(4,6) = ((1,2),(0,1))((4),(6)) = ((12),(6)) != F(B)=(10,6) ->$ NON VERIFICATA
Perciò basta fermarmi qui per considerare che anche le trasformazioni in a) non sono indotte da applicazioni lineari in $R^2->R^2$.
Per b) è confermato ciò che ho scritto precedentemente.
Per c) hai ragione, anche qui ho sbagliato e le trasformazioni in c in effetti sono indotte da un'applicazione lineare.
Grazie dell'accortezza, ho preferito calcolarlo a mente ma ecco qui che ho sbagliato.
Noti altri errori? Più che di calcolo, procedurali.
Bella
Infatti ecco gli errori trovati nel grafico a):
Grafico a):
$F(v)=Av→F(x,y)=((1,2),(0,1))((x),(y))=((x+2y),(y))$
Verifichiamo che ogni vertice è trasformato correttamente secondo l'applicazione lineare trovata:
Vertici: $A=(2,3),B=(4,6),C=(6,3),D=(2,0),E=(6,0)$
Immagini ricavate dal grafico: $F(A)=(8,3),F(B)=(10,6),F(C)=(12,3),F(D)=(2,0),F(E)=(6,0)$
Immagini ricavate usando l'applicazione lineare trovata:
$F(2,3) = ((1,2),(0,1))((2),(3)) = ((8),(3)) ->$ verificata
$F(4,6) = ((1,2),(0,1))((4),(6)) = ((12),(6)) != F(B)=(10,6) ->$ NON VERIFICATA
Perciò basta fermarmi qui per considerare che anche le trasformazioni in a) non sono indotte da applicazioni lineari in $R^2->R^2$.
Per b) è confermato ciò che ho scritto precedentemente.
Per c) hai ragione, anche qui ho sbagliato e le trasformazioni in c in effetti sono indotte da un'applicazione lineare.
Grazie dell'accortezza, ho preferito calcolarlo a mente ma ecco qui che ho sbagliato.
Noti altri errori? Più che di calcolo, procedurali.
Bella
Direi che va bene.
Che la a) non è una tr.lineare si vede anche ad occhio, guardando solo la forma del grafico. Io di calcoli non ne ho fatti.
Riesci a intuire perchè ?
Che la a) non è una tr.lineare si vede anche ad occhio, guardando solo la forma del grafico. Io di calcoli non ne ho fatti.
Riesci a intuire perchè ?
mmmm la butto lì ma proprio non c'arrivo.
Perchè nelle trasformazioni lineari le traslazioni dei vertici di ascissa (o ordinata) distinta in uno stesso quadrante non possono mantenere le stesse proporzioni?
Cioè nel caso di a) parto con 3 vertici che sono distanziati ognuno di due unità sull'ascissa e l'immagine di questi 3 vertici sono sempre distanziati di due unità.
KA-BOOOOM quanto l'ho sparata XD
Puoi darmi un suggerimento?
Perchè nelle trasformazioni lineari le traslazioni dei vertici di ascissa (o ordinata) distinta in uno stesso quadrante non possono mantenere le stesse proporzioni?
Cioè nel caso di a) parto con 3 vertici che sono distanziati ognuno di due unità sull'ascissa e l'immagine di questi 3 vertici sono sempre distanziati di due unità.
KA-BOOOOM quanto l'ho sparata XD
Puoi darmi un suggerimento?
Se guardi il tetto non è deformato, mentre le pareti sono piegate...quindi non possono venire dalla stessa trasformazione.
mmmmhhh quindi in una trasformazione lineare se si deforma una parte DEVE deformarsi tutto?
*EDIT* credo di aver capito...
*EDIT* credo di aver capito...
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