Applicazione lineare

[sbrego22]

Nello spazio vettoriale di $R^4$ si considerano i sottospazi S($v_1,v_2$) e T($v_3, v_4$) generati rispettivamente dai vettori:

$v_1=((1),(1),(0),(-1)) , v_2=((1),(1),(0),(1)), v_3=((1),(0),(1),(1)) , v_4=((2),(1),(1),(0)) $


definire un'applicazione lineare $ F: RR^4 Rightarrow RR^4$ tale che $KerF=S$ e $ImF=T$

Per portare i vettori $v_1$ e $v_2$ nel $KerF$ ho trovato una soluzione del sistema $AX=0$ mettendo i vettori come righe, ma non so come costruire l'applicazione lineare per "costruire" anche l'immagine.

[weblan]

"lorenzo22":Nello spazio vettoriale di $R^4$ si considerano i sottospazi S e T generati rispettivamente dai vettori:

$v_1=((1),(1),(0),(-1)) , v_2=((1),(1),(0),(1)), v_3=((1),(0),(1),(1)) , v_4=((2),(1),(1),(0)) $

Sarebbe opportuno precisare chi genera $S$ e chi $T$. Si può intuire dal tentativo di soluzione che hai dato, ma non mi sembra così chiara la domanda e si presta a diverse interpretazioni.

[sbrego22]

"weblan":
Sarebbe opportuno precisare chi genera $S$ e chi $T$. Si può intuire dal tentativo di soluzione che hai dato, ma non mi sembra così chiara la domanda e si presta a diverse interpretazioni.

Si scusa non l'ho scritto: S viene generato da $v_1 $ e $v_2$ e T viene generato da $v_3$ e $v_4$
Volevo chiedere se era giusto quello che avevo fatto e come si poteva andare avanti per completare l'esercizio.

[weblan]

Un'applicazione lineare è nota (determinata) quando si conoscono le immagini dei vettori di una base.

Quello che devi fare è trovare una base, e poi costruire l'endomorfismo in modo che rispetti le condizioni.

Di endomorfismi che soddisfano le condizioni dettate ne esistono infiniti. Il nucleo di questo endomorfismo deve essere lo spazio generato $$ e l'immagine deve essere lo spazio generato $$.

[sbrego22]

"weblan":Un'applicazione lineare è nota (determinata) quando si conoscono le immagini dei vettori di una base.

Quello che devi fare è trovare una base, e poi costruire l'endomorfismo in modo che rispetti le condizioni.

Di endomorfismi che soddisfano le condizioni dettate ne esistono infiniti. Il nucleo di questo endomorfismo deve essere lo spazio generato $$ e l'immagine deve essere lo spazio generato $$.

Ho provato a pensarci, ma non ho capito come posso fare a costruire l'endomorfismo. Mi puoi spiegare (anche in modo teorico) come si può fare a costruirlo? Grazie Mille.

P.s.: sono riuscito a capire (forse) cose intendevi e sono riuscito a completare l'esercizio; adesso lo riporto per vedere se ho fatto giusto:
Ho costruito una base con i due vettori che dovevano andare a Ker e lo completata con altri vettori linearmente dipendenti.

$B={((1),(1),(0),(-1)),((1),(1),(0),(1)),((1),(0),(0),(0)),((0),(0),(1),(0))}$
.............$z_1$,......$z_2$,.....$z_3$,.....$z_4$

Ho imposto $F(z_1)=0, F(z_2)=0, F(z_3)=v_3, F(z_4)=v_4$ (i vettori della base T dell'esercizio).
Quindi ho costruito 4 sistemi lineari che imponevano come soluzione della combinazione lineari dei vettori della base, i vettori di arrivo (le loro componenti).