Applicazione lineare

[Pozzetto1]

Ho un piccolo dubbio riguardante l'applicazione lineare seguente riferita alla base canonica.

$T:RR^4rarrRR^5$ l'applicazione lineare definita da: $T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_2,x_1+x_2,x_2,x_2+3x_3,-2x_1)$ rispetto alle basi canoniche

Devo trovare una base di $Ker(T)$ e di $Im(T)$

Sulla traccia della soluzione trovo scritto:

$T(e_1)=(1,1,0,0,-1)$
$T(e_2)=(-1,1,1,1,-1)$
$T(e_3)=(0,0,0,3,0)$
$T(e_4)=(0,0,0,0,0)$

non mi è molto chiaro come arrivare a questo.

Grazie!

[Gi81]

Tieni presente che $e_1=(1,0,0,0)$, $e_2=(0,1,0,0)$, $e_3=(0,0,1,0)$, $e_4=(0,0,0,1)$

[Pozzetto1]

si,ok,quello lo sapevo ma non riesco a capire lo stesso...

[melli13]

Hai capito ora..?devi sostituire le componenti del vettore nell'applicazione. Ad esempio:
$T(e1=(1,0,0,0))=(1-0, 1+0, 0, 0+0, -2)=(1,1,0,0,-2)$

ps sicuramente c'è un errore o nella soluzione o come hai definito l'applicazione perchè l'ultima componente in questo modo viene -2

[Gi81]

Allora non capisco quale sia il problema:
Ad esempio $T(e_1)=T((1,0,0,0))=(1-0,1+0,0,0+3*0,-2*1)=(1,1,0,0,-2)$

edit: anticipato

[Pozzetto1]

"melli13":Hai capito ora..?devi sostituire le componenti del vettore nell'applicazione. Ad esempio:
$T(e1=(1,0,0,0))=(1-0, 1+0, 0, 0+0, -2)=(1,1,0,0,-2)$

ps sicuramente c'è un errore o nella soluzione o come hai definito l'applicazione perchè l'ultima componente in questo modo viene -2

Infatti,è quello che non mi è chiaro...

Anche in $T(e_2)$ c'è un errore!

[melli13]

Devi prendere nel caso di e1:
$x_1=1$
$x_2=0$
$x_3=0$
$x_4=0$

[melli13]

Si hai ragione....ma fidati che sarà un errore di stmpa perchè così si risolvono le applicazioni...!

[Pozzetto1]

Si si,come fare era chiaro,ma siccome sono le prime volte che affronto questi temi non capivo se ero io che sbagliavo o la soluzione del testo!

[Gi81]

Non è che l'applicazione è definita così:
$T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_2,x_1+x_2,x_2,x_2+3x_3,-x_2-x_1)$?

[Pozzetto1]

Si si,come fare era chiaro,ma siccome sono le prime volte che affronto questi temi non capivo se ero io che sbagliavo o la soluzione del testo!

[melli13]

Stai tranquillo allora....facevi bene...!

[Pozzetto1]

il problema ora è ridurre a scala la matrice associata!

[Pozzetto1]

sono giusti questi passaggi?

$A=((1,-1,0,0),(1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,1,3,0),(-2,0,0,0))$ $rarr$ $A=((1,-1,0,0),(1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,3,0),(-2,0,0,0))$(con 4-3 riga)

$A=((1,-1,0,0),(0,2,0,0),(0,1,0,0),(0,0,3,0),(-2,0,0,0))$ (con 2-1 riga)

$A=((1,-1,0,0),(0,2,0,0),(0,1,0,0),(0,0,3,0),(0,2,0,0))$ (con quinta riga+2*1riga)

$A=((1,-1,0,0),(0,2,0,0),(0,1,0,0),(0,0,3,0),(0,0,0,0))$ (con quinta riga-2*terza riga)

$A=((1,-1,0,0),(1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,3,0),(0,0,0,0))$ (con seconda + prima riga)

[Pozzetto1]

Nessuno?

Volevo essere sicuro per continuare l'esercizio...

[melli13]

Non ho seguito i tuoi ragionamenti....facendola da me viene così:
$((1,-1,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,0), (0,0,0,0))$
Quindi la matrice ha rango 3..

[Pozzetto1]

No,l'applicazione lineare era corretta!