Applicazione lineare
Salve, vorrei una mano per risolvere questo esercizio... premetto che la mia conoscenza toerica è piuttosto scarsa! Non ho altri esercizi svolti su cui rifarmi e quindi vorrei vedere esattamente come si procede per questa tipologia di esercizi. Questa è la traccia.
Data l'applicazione $ f:R^3rarr:R^3 $ l'applicazione lineare associata mediante la base canonica alla matrice simmetrica
$ A= ( ( 2 , -1 , 1 ),( -1 , 2 , 1 ),( 1, 1 , 2 ) ) $
1)Determinare una base per ker f
2)Calcolare $f(-1,-1,0)$
3)Determinare una base di $:R^3$ costituita da autovettori per f
Allora io procedo così
1)sapendo che la dimensione Im f è data dal rango della matrice mi studio il determinante che in questo caso è uguale a 0. Quindi la matrice ha rango 2
Utilizzo il teorema dell'equazione dimensionale $dim ker f = dimV - dimIm f$ quindi $dim ker f = 3-2 =1$
Quindi mi studio il nucleo
$Ker f = { ( 2x-y+z=0 ),( -x+2y+z=0 ),( x+y+2z=0 ):}$
Da cui dovrei ottenere
${ ( y=x ),( z=-x ):}$
Adesso sono davvero insicuro... può essere che la base si trova ponendo $x=t$ e quindi $(t,t,-t)??
2)Vado a calcolare
${ ( 2x-y+z ),( -x+2y+z),( x+y+2z ):}$ da cui viene $(-1,-1,-2)$
3)Questo non saprei proprio da dove partire... aspetto imput
grazie già da adesso per le correzioni e i suggerimenti
Data l'applicazione $ f:R^3rarr:R^3 $ l'applicazione lineare associata mediante la base canonica alla matrice simmetrica
$ A= ( ( 2 , -1 , 1 ),( -1 , 2 , 1 ),( 1, 1 , 2 ) ) $
1)Determinare una base per ker f
2)Calcolare $f(-1,-1,0)$
3)Determinare una base di $:R^3$ costituita da autovettori per f
Allora io procedo così
1)sapendo che la dimensione Im f è data dal rango della matrice mi studio il determinante che in questo caso è uguale a 0. Quindi la matrice ha rango 2
Utilizzo il teorema dell'equazione dimensionale $dim ker f = dimV - dimIm f$ quindi $dim ker f = 3-2 =1$
Quindi mi studio il nucleo
$Ker f = { ( 2x-y+z=0 ),( -x+2y+z=0 ),( x+y+2z=0 ):}$
Da cui dovrei ottenere
${ ( y=x ),( z=-x ):}$
Adesso sono davvero insicuro... può essere che la base si trova ponendo $x=t$ e quindi $(t,t,-t)??
2)Vado a calcolare
${ ( 2x-y+z ),( -x+2y+z),( x+y+2z ):}$ da cui viene $(-1,-1,-2)$
3)Questo non saprei proprio da dove partire... aspetto imput
grazie già da adesso per le correzioni e i suggerimenti
Risposte
Devi trovarti gli autovalori, inserendo L lungo la diagonale. troverai 3 autovalori che andrai a sostituire al L che hai inserito, metti a sistema, le soluzioni x,y,z che ottieni di generano i rispettivi autovettori che ti saranno la base di autovettori
Ho controllato i calcoli e mi trovo come te, soltanto per la soluzione del sistema, ti consiglio di scriverlo in modo più ordinato (solo per un fatto di forma) così:
$ { ( y=-z ),( x=-z ):} $
da cui hai che le soluzioni sono nella forma: ${(-z,-z,z) | z in RR}$, allora il vettore della base del $Kerf=[(-1,-1,1)]$
Per quanto riguarda il secondo esercizio, ok mi trovo come te. Per il terzo l'input che ti posso dare è: lavora con il polinomio caratteristico e studia gli autospazi, seguendo lo stesso procedimento di quando vuoi studiare il problema della diagonalizzabilità della matrice associata.
$ { ( y=-z ),( x=-z ):} $
da cui hai che le soluzioni sono nella forma: ${(-z,-z,z) | z in RR}$, allora il vettore della base del $Kerf=[(-1,-1,1)]$
Per quanto riguarda il secondo esercizio, ok mi trovo come te. Per il terzo l'input che ti posso dare è: lavora con il polinomio caratteristico e studia gli autospazi, seguendo lo stesso procedimento di quando vuoi studiare il problema della diagonalizzabilità della matrice associata.
mmm.. allora ho fatto come avete detto. Mi sono calcolato gli autovalori che in questo caso sono $ L = 0, L= -1$. Poi li ho sostituiti trovandomi così gli autospazi se non mi sbaglio! Mi viene che per $L=0$ (t,t,-t) e per $L=-1$ (0,0,0). Poi come dovrei procedere?
Hai trovato il polinomio caratteristico?!
Te lo chiedo perchè io mi trovo gli autovalori diversi..
Te lo chiedo perchè io mi trovo gli autovalori diversi..
scusa forse ho sbagliato i calcoli per gli autovalori.... comunque dovrebbe essere $ L=0$ e $L=-3$ giusto?
Se indichiamo con $p(t)$ il polinomio caratteristico allora, esso è della forma:
$(2-t)^3-3(2-t)-2=0 => t(t-3)^2=0$
allora gli autovalori sono $t=0 , t=3$
$(2-t)^3-3(2-t)-2=0 => t(t-3)^2=0$
allora gli autovalori sono $t=0 , t=3$
scusami veramente... ho fatto per due volte errori di calcolo. Adesso mi trovo anche io con $L=0$ e $L=3$. Quindi vado a sostuire questi valori e risolvo i sistemi per determinare gli autospazi giusto? Per $L=0$ vabbè si ha come prima $(t,t,-t)$ e per $L=3$ ottengo tre equazioni dipendenti e quindi ho $ (0,0,0)$ giusto?
Da adesso devi seguire lo stesso procedimento fatto quando vuoi studiare la diagonalizzabilità, quindi diciamo che per:
$t=0$ abbiamo $A_1(f,0)=kerf$ (cioè l'autospazio relativo all'autovalore 0 è proprio il kerf), il cui vettore che lo genera è $(-1,-1,1)$.
$t=3$ devi studiare $A_2(f,3)$ che è l'autospazio relativo all'autovalore 3, per studiarlo devi studiare il sistema $(A-3t)X=0$, trovi le soluzioni e automaticamente avrai anche i vettori che generano il suddetto autospazio.
Fai attenzione che il vettore $(0,0,0)$ non ti può mai uscire come generatore dell'autospazio in quanto esso è sempre linearmente dipendente, e poi per definizione di autospazio esso non ci può stare all'interno.
$t=0$ abbiamo $A_1(f,0)=kerf$ (cioè l'autospazio relativo all'autovalore 0 è proprio il kerf), il cui vettore che lo genera è $(-1,-1,1)$.
$t=3$ devi studiare $A_2(f,3)$ che è l'autospazio relativo all'autovalore 3, per studiarlo devi studiare il sistema $(A-3t)X=0$, trovi le soluzioni e automaticamente avrai anche i vettori che generano il suddetto autospazio.
Fai attenzione che il vettore $(0,0,0)$ non ti può mai uscire come generatore dell'autospazio in quanto esso è sempre linearmente dipendente, e poi per definizione di autospazio esso non ci può stare all'interno.
grazie, forse ci sono riuscito. Allora dalla relazione che hai scritto tu $(A-L)X=0$ ricavo che $AX-LX=0$ da cui $AX=LX$ quindi:
${ ( 2x-y+z=3x ),( -x+2y+z=3y),(x+y+2z=3z ):}$
da cui $z=x+y$
Quindi il mio vettore sarà $v=(x,y,x+y)$ e ponendo $x=1$ e $y=0$ e il contrario si hanno $(1,0,1)$ e $(0,1,1)$. Dunque la base sarà:${(1,0,1), (0,1,1), (1,1,-1)}$. Fatto bene??
${ ( 2x-y+z=3x ),( -x+2y+z=3y),(x+y+2z=3z ):}$
da cui $z=x+y$
Quindi il mio vettore sarà $v=(x,y,x+y)$ e ponendo $x=1$ e $y=0$ e il contrario si hanno $(1,0,1)$ e $(0,1,1)$. Dunque la base sarà:${(1,0,1), (0,1,1), (1,1,-1)}$. Fatto bene??
Si, anche se a me escono altri valore, è lo stesso. Bene adesso hai trovato una base per ogni autospazio, adesso devi solo completare.
In che senso devo completare?? Pensavo di avere finito onestamente
Completare nel senso che devi rispondere alla richiesta di trovare una base di autovettori per $RR^3$
scusami ma non so proprio cosa devo fare adesso.... cioè io ho trovato $x$ dall'equazione $Ax=Lx$ per i due autovalori che mi sono ricavato. Quindi mi trovo gli autovettori che dovrebbero essere ${(1,1,-1),(1,0,1),(0,1,1)}$. La base non è appunto questa?
Si è questa, dovresti solo verificare che formano un sistema di vettori linearmente indipendenti.
si forma un sistema di equazioni indipendenti! Grazie mille per l'aiuto
Potevi anche evitare di fare i calcoli osservando che: autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
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