Applicazione lineare

[Blackorgasm]

Si consideri l'applicazione lineare $f:RR^3->RR^3$ definita da:

$f( ( 3 ),( 1 ),( 1 ) )=( ( 2 ),( 1 ),( 1 ) )$ , $f( ( 5 ),( 2 ),( 2 ) )=( ( 2 ),( 1 ),( 1 ) )$ , $f( ( 1 ),( 1 ),( 2 ) )=( ( 2 ),( 1 ),( 1 ) )$ .

Si determini $A in RR^(3x3)$ tale che $f=L_A$. Si determinino $kerf$ ed $Imf$. Si provi che $A^2=0$.

allora io ho agito così:
ho impostato

$f( ( 3 , 5 , 1 ),( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 2 ) )=( ( 2 , 2 , 2 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )$

da cui $A=( ( 3 , 5 , 1 ),( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 2 ) )^(-1)*( ( 2 , 2 , 2 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )$

$Imf= = <( ( 2 ),( 1 ),( 1 ) )>$

per quanto riguarda il $kerf$ noto che $f(( ( 3 ),( 1 ),( 1 ) )-( ( 5 ),( 2 ),( 2 ) ))=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )$
$f(( ( 3 ),( 1 ),( 1 ) )-( ( 1 ),( 1 ),( 2 ) ))=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )$
$f(( ( 5 ),( 2 ),( 2 ) )-( ( 1 ),( 1 ),( 2 ) ))=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )$

quindi $kerf=<-( ( 2 ),( 1 ),( 1 ) ) , ( ( 2 ),( 0 ),( -1 ) ) , ( ( 4 ),( 1 ),( 0 ) )>$

per dimostrare che $A^2=0$ come devo fare?

[cirasa]

Per dimostrare che $A^2=0$ è sufficiente dimostrare che $f^2=f\circ f=0$ (perchè la matrice associata a $f^2$ è $A^2$).
E per fare ciò basta osservare che $f^2$ si annulla sui vettori di una base.

[Blackorgasm]

si si ci sono arrivato, quindi applicando due volte $f$ ai vettori di partenza ottengo 0, ovvero:

$f(f((3),(1),(1)))=f((2),(1),(1))=0$

$f(f((5),(2),(2)))=f((2),(1),(1))=0$

$f(f((1),(1),(2)))=f((2),(1),(1))=0$

visto che il vettore $((2),(1),(1))$ fa parte del $kerf$ giusto?

quindi l'esercizio è fatto bene?

[Blackorgasm]

però mi pare ci sia un problema:
la dimensione dello spazio è 3, per il teorema sulla dimensione la somma delle dimensioni di $Imf$ e $kerf$ non fa 3; per risolvere il problema basta che tolga un vettore dallo spazio generato dal $kerf$?

[cirasa]

Controlla la dimensione di $"ker"(f)$.

[Blackorgasm]

ah si non avevo fatto il controllo, in effetti il suo rango è 2

(e si vede anche ad occhio che la terza colonna è combinazione lineare delle prime due )