Applicazione lineare

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12 set 2008, 21:27

Determinare l'applicazione lineare f di $R^4$ in $R^3$ tale che =ker(f) e f(1,0,0,0)=(1,0,-1).
v[size=75]1[/size]=(1,2,0,-1)
v[size=75]2[/size]=(-1,0,1,2)
v[size=75]3[/size]=(1,0,1,0)
Chi mi da una mano?
Grazie

Risposte

salsa88

12 set 2008, 19:33

Io ho trovato le seguenti relazioni:
f(1,2,0,-1)=(0,0,0)
f(-1,0,1,2)=(0,0,0)
f(1,0,1,0)=(0,0,0)
e poi f(1,0,0,0)=(1,0,-1)
ora ke faccio? ho provato a mettere le immagini in una matrice disposte per colonna e moltiplicare per (x,y,z,t)...ma mi sono bloccato...

fu^2

13 set 2008, 12:19

beh ora hai trovato le condizioni su f ed essa è univocamente determinata.

$f(((1),(2),(0),(-1)))=((0),(0),(0))
$f(((-1),(0),(1),(2)))=((0),(0),(0))
$f(((1),(0),(1),(0)))=((0),(0),(0))
$f(((1),(0),(0),(0)))=((1),(0),(-1))

come hai scritto giustamente.

quindi deve verificarsi che $[(a_(11),a_(12),a_(13),a_(14)),(a_(21),a_(22),a_(23),a_(24)),(a_(31),a_(32),a_(33),a_(34))][(x_1),(x_2),(x_3),(x_4)]=[(c_1),(c_2),(c_3)]$. Bisogna determinare la matrice $[a_(ij)]$

quindi mettendo dentro i dati che hai ottieni il sistema:

${([(a_(11),a_(12),a_(13),a_(14)),(a_(21),a_(22),a_(23),a_(24)),(a_(31),a_(32),a_(33),a_(34))][(1),(2),(0),(-1)]=[(0),(0),(0)]),([(a_(11),a_(12),a_(13),a_(14)),(a_(21),a_(22),a_(23),a_(24)),(a_(31),a_(32),a_(33),a_(34))][(1),(0),(1),(0)]=[(0),(0),(0)]),([(a_(11),a_(12),a_(13),a_(14)),(a_(21),a_(22),a_(23),a_(24)),(a_(31),a_(32),a_(33),a_(34))][(-1),(0),(1),(2)]=[(0),(0),(0)]),([(a_(11),a_(12),a_(13),a_(14)),(a_(21),a_(22),a_(23),a_(24)),(a_(31),a_(32),a_(33),a_(34))][(1),(0),(0),(0)]=[(1),(0),(-1)]):}

da cui ottieni velocemente (i calcoli sono facili in questo caso) la matrice $[a_(ij)]$ che è $[(1,0,-1,1),(0,0,0,0),(-1,0,1,-1)]$ che come ci aspettavamo ha solo una riga indipendente (ha cioè rango 1 e quindi dimkerf=2 come era richiesto)

ovviamente una volta ricavato le prime due righe la terza basta che metti una combinazione lineare delle altre due essendo che già sai che il rango deve essere 1.

spero di averti chiarito tutto e scritto poche cazzate

ciao!