Applicazione lineare

[salsa88]

Per favore, aiutatemi. Ho una matrice quadrata N di ordine 2 con tutti gli elementi uguali a 1 e l'endomorfismo f(M)=NM per ogni M appartenente alla matrici quadrate di ordine 2. Devo dimostrare che l'appliacazione f è lineare.
Grazie x l'aiuto e scusate se non so scrivere le matrici

[gygabyte017]

Allora: $N=((1,1),(1,1))$ e $f(M)=NM$.
Vediamo come agisce l'applicazione su una generica matrice $M=((a,b),(c,d))$:
$f(M)=((1,1),(1,1))((a,b),(c,d))=((a+c,b+d),(a+c,b+d))$

Ora, verifichiamo se soddisfa le proprietà di applicazione lineare. Sia $L=((e,f),(g,h))$:

$f(M+L)=f(((a+e,b+f),(c+g,d+h)))=((1,1),(1,1))((a+e,b+f),(c+g,d+h))=((a+c+e+g,b+d+f+h),(a+c+e+g,b+d+f+h))$
$f(M)+f(L)=((1,1),(1,1))((a,b),(c,d)) + ((1,1),(1,1))((e,f),(g,h)) =((a+c,b+d),(a+c,b+d)) + ((e+g,f+h),(e+g,f+h)) = ((a+c+e+g,b+d+f+h),(a+c+e+g,b+d+f+h))$

E' quindi lineare nella somma.

Sia ora lo scalare $lambda in \mathbb{K}$ (non so che campo è definito l'endomorfismo, lo metto generico):
$f(lambdaM)=f(((lambdaa,lambdab),(lambdac,lambdad)))=((1,1),(1,1))((lambdaa,lambdab),(lambdac,lambdad))=((lambdaa+lambdac,lambdab+lambdad),(lambdaa+lambdac,lambdab+lambdad))$
$lambdaf(M)=lambda((a+c,b+d),(a+c,b+d))=((lambdaa+lambdac,lambdab+lambdad),(lambdaa+lambdac,lambdab+lambdad))$

E' lineare anche nel prodotto. E quindi è un'applicazione lineare!

Spero sia tutto chiaro, ciao

[salsa88]

Gentilissimo tutto chiaro grazie mille