Applicazione lineare

[Anna.interfree]

Ciao a tutti
Vorrei chiedervi se per favore potreste spiegarmi passo-passo
come risolvere alcuni esercizi di algebra lineare

sia T:R4 in R3 l'applicazione lineare
T(x,y,z,t)=(2x+y+z, 3x-y+t, x-2y-z+t)
determinare:
- matrice associata a T
- eq cartesiane, una base e la dimensione di Im T
- eq parametriche, una base e la dimensione di Im T
- T e' iniettiva e/o suriettiva?
- un vettore v appartenente ad R4 non appartenente a KerT

[fireball1]

E' evidente che la matrice relativa all'applicazione T dev'essere
una matrice 3x4. Cerchiamo una matrice M tale che:
$((a_(11),a_(12),a_(13),a_(14)),(a_(21),a_(22),a_(23),a_(24)),(a_(31),a_(32),a_(33),a_(34)))*((x),(y),(z),(t))=((2x+y+z),(3x-y+t),(x-2y-z+t))
con $a_(ij)$ coefficienti reali.
Facendo i calcoli al primo membro e imponendo l'uguaglianza si ottiene immediatamente:
$a_(11)=2, a_(12)=1, a_(13)=1, a_(14)=0, a_(21)=3, a_(22)=-1, a_(23)=0, a_(24)=1, a_(31)=1, a_(32)=-2, a_(33)=-1, a_(34)=1.
Ora abbiamo la matrice relativa a questa applicazione lineare.

[fireball1]

L'immagine di T è generata dalle immagini
dei vettori di una base di $RR^4$, per esempio
la base canonica di $RR^4$. Le colonne
della matrice contengono le coordinate
di 4 vettori di $RR^3$, che sono ovviamente
linearmente dipendenti; eliminando un vettore
si trova che gli altri 3 vettori sono ancora
linearmente dipendenti, eliminandone un altro
ancora si trova che l'immagine di T è un piano
in $RR^3$ e precisamente:
$"im"T = "span"{((1),(-1),(-2)),((0),(1),(1))}$,
le cui eq. parametriche sono:
${(x=t),(y=-t+s),(z=-2t+s):}
per opportuni numeri reali t ed s.
Eliminando i due parametri si ottiene l'equazione cartesiana:
$x - y + z = 0$.

[fireball1]

Suriettiva senza dubbio non è, infatti
l'immagine non è tutto $RR^3$, ma un suo
sottospazio di dimensione 2, ovvero un piano.
E' iniettiva se il nucleo di T contiene solo il
vettore nullo di $RR^4$, ma così non è,
infatti il sistema lineare $MX=O$, dove con O
ho indicato il vettore nullo di $RR^3$, con
M la matrice trovata prima e con X un vettore
generico di $RR^4$, ammette $oo^2$ soluzioni.

PS. Il fatto che $text(dim Im T = 2)$ si poteva ottenere
anche calcolando il rango della matrice M, che infatti viene proprio 2.

[Anna.interfree]

grazie per le spiegazioni
ciao

[clara_gv]

devo scrivere nello Spazio tridimensionale l'equazione di un piano per un punto P(x,y,z)che formi con il piano orizzontale XY un certo angolo alfa

grazie a tutti e ciao