Applicazione lineare
Sia data l'applicazione lineare $L:V->W$ fra due spazi vettoriali generici.
Sia $B={vec(v_1),...,vec(v_n)}$ una base di $V$; mostrare che ${L(vec(v_1)),...,L(vec(v_n))}$ sono una lista di generatori di $ImL$.
Come faccio a mostrarlo in forma generica?
Sia $B={vec(v_1),...,vec(v_n)}$ una base di $V$; mostrare che ${L(vec(v_1)),...,L(vec(v_n))}$ sono una lista di generatori di $ImL$.
Come faccio a mostrarlo in forma generica?
Risposte
Ciao.
Non è una dimostrazione difficile; bisogna far vedere che, dato un qualunque vettore $vecw in ImL$, esso è scrivibile come combinazione lineare di $L(vecv_1),...,L(vecv_n)$; infatti si ha:
$vecw in ImL Rightarrow EEvecvinV:vecw=L(vecv)$
Ma, essendo $ B={vec(v_1),...,vec(v_n)} $ base di $V$, varrà:
$vecv=sum_{i=1}^n a_ivecv_i Rightarrow vecw=L(vecv)=L(sum_{i=1}^n a_ivecv_i)=sum_{i=1}^n a_iL(vecv_i)$
e ciò conclude la dimostrazione.
Saluti.
Non è una dimostrazione difficile; bisogna far vedere che, dato un qualunque vettore $vecw in ImL$, esso è scrivibile come combinazione lineare di $L(vecv_1),...,L(vecv_n)$; infatti si ha:
$vecw in ImL Rightarrow EEvecvinV:vecw=L(vecv)$
Ma, essendo $ B={vec(v_1),...,vec(v_n)} $ base di $V$, varrà:
$vecv=sum_{i=1}^n a_ivecv_i Rightarrow vecw=L(vecv)=L(sum_{i=1}^n a_ivecv_i)=sum_{i=1}^n a_iL(vecv_i)$
e ciò conclude la dimostrazione.
Saluti.
Grazie mille! con la sommatoria è molto più comodo 
Beh, in quale altro modo pensavi di dimostrare la tesi?
Saluti.
Saluti.
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