Applicazione del teorema spettrale, problema concettuale
buongiorno,
Non riesco a capire un esercizio svolto che stavo provando a risolvere da solo, non capisco una parte del procedimento..
I calcoli sono giusti perché rappresentati sul libro e confermo di averli svolti giusi, solo mi servirebbe capire il procedimento in un punto
Ho trovato la seguente matrice associata:
$A=((1,-1,0),(-1,2,1),(0,1,1))$
Ne ho trovato gli autovalori $\lambda_1=0, \lambda_2=1,\lambda_3=3$
e gli autovettori: $v_1=(1,0,1), v_3(-1,2,1), v_0=(1,1,-1)$
Quindi in teoria essendo questi vettori base dei relativi autospazi, la molteplicità algebrica e geometrica coincidono e infatti è diagonalizzabile, cosa che mi aspettavo anche dal teorema spettrale (essendo simmetrica la matrice).
La matrice $P=((1,-1,1),(0,2,1),(1,1,-1))$
Quindi $D=P^-1AP$
Il problema è che il libro dice una cosa che in effetti è vera, "dato che per il teorema spettrale è simmetrica e diagonalizzabile tramite matrice ortogonale, cioè ho una base ORTONORMALE del mio spazio costituita di autovettori, e accorgendosi che i vettori dell'autospazio non hanno norma 1, vado a normalizzare"
E trova una matrice che nomina "P, matrice del cambio di base da B a B'"
$P=((1/sqrt2,-1/sqrt6,1/sqrt3),(0,2/sqrt6,1/sqrt3),(1/sqrt2,1/sqrt6,-1/sqrt3))$
Il mio dubbio è quindi: ma come può essere quella la matrice diagonalizzante se la diagonalizzante è per definizione "la matrice che ha per colonne gli autovettori e quelli non sono gli autovettori, ma gli autovettori normalizzati"
Però di contro se non facessi così e non li normalizzassi allora andrei contro il teorema spettrale che dice che la matrice simmetrica è diagonalizzata tramite matrice ortogonale con colonne che sono base ortonormale
L'eserciziario è un po' criptico, sapreste decifrarlo?
Non riesco a capire un esercizio svolto che stavo provando a risolvere da solo, non capisco una parte del procedimento..
I calcoli sono giusti perché rappresentati sul libro e confermo di averli svolti giusi, solo mi servirebbe capire il procedimento in un punto
Ho trovato la seguente matrice associata:
$A=((1,-1,0),(-1,2,1),(0,1,1))$
Ne ho trovato gli autovalori $\lambda_1=0, \lambda_2=1,\lambda_3=3$
e gli autovettori: $v_1=(1,0,1), v_3(-1,2,1), v_0=(1,1,-1)$
Quindi in teoria essendo questi vettori base dei relativi autospazi, la molteplicità algebrica e geometrica coincidono e infatti è diagonalizzabile, cosa che mi aspettavo anche dal teorema spettrale (essendo simmetrica la matrice).
La matrice $P=((1,-1,1),(0,2,1),(1,1,-1))$
Quindi $D=P^-1AP$
Il problema è che il libro dice una cosa che in effetti è vera, "dato che per il teorema spettrale è simmetrica e diagonalizzabile tramite matrice ortogonale, cioè ho una base ORTONORMALE del mio spazio costituita di autovettori, e accorgendosi che i vettori dell'autospazio non hanno norma 1, vado a normalizzare"
E trova una matrice che nomina "P, matrice del cambio di base da B a B'"
$P=((1/sqrt2,-1/sqrt6,1/sqrt3),(0,2/sqrt6,1/sqrt3),(1/sqrt2,1/sqrt6,-1/sqrt3))$
Il mio dubbio è quindi: ma come può essere quella la matrice diagonalizzante se la diagonalizzante è per definizione "la matrice che ha per colonne gli autovettori e quelli non sono gli autovettori, ma gli autovettori normalizzati"
Però di contro se non facessi così e non li normalizzassi allora andrei contro il teorema spettrale che dice che la matrice simmetrica è diagonalizzata tramite matrice ortogonale con colonne che sono base ortonormale
L'eserciziario è un po' criptico, sapreste decifrarlo?
Risposte
Vanno bene entrambe le matrici, differiscono di una costante reale e quando calcoli la matrice inversa queste costanti si vanno a compensare.
Anche i vettori che ha messo il libro nelle colonne sono autovettori, gli autovettori moltiplicati per costanti sono sempre autovettori
Anche i vettori che ha messo il libro nelle colonne sono autovettori, gli autovettori moltiplicati per costanti sono sempre autovettori
Ecco cosa mi sfuggiva, grazie 
Ma quindi il teorema spettrale potrebbe anche essere riscritto come: "una matrice simmetrica è diagonalizzabile se esiste una base ortoGONALE di autovettori". Perché richiede invece proprio ortoNORMALE?
Ma quindi il teorema spettrale potrebbe anche essere riscritto come: "una matrice simmetrica è diagonalizzabile se esiste una base ortoGONALE di autovettori". Perché richiede invece proprio ortoNORMALE?
Avere una base ortonormale è meglio di una ortogonale. A livello concettuale credo sia uguale, ma vengono semplificate alcune formule quando la base é ortonormale.
Grazie sempre gentilissimi
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