Applicazione conforme, questa sconosciuta
Ciao! mi potete chiarire dei concetti? Il nostro prof è interessantissimo, ci dice un sacco di cose, ma spesso l'impianto formale è oscuro.. ed essendo io stato cresciuto formalmente.. ho difficoltà:
Data $A:RR^n->RR^n$ lineare continua
$A$ è conforme $<=>$ $forall x,y in RR^n-{0}: frac{(Ax|Ay)}{|Ax||Ay|}=frac{(x|y)}{|x||y|}$
ora: un'altra caratterizzazione delle funzioni conformi è: conservano gli angoli.
Cerco di dirlo: conservare gli angoli vuol dire (con le ipotesi che rendono sensato quel che sto per scrivere, cioè che i due vettori non siano nulli, altrimenti non è definito l'angolo) che $arccos frac{(Ax|Ay)}{|Ax||Ay|}=arc cos frac{(x|y)}{|x||y|}$
e ciò accade se e solo se $frac{(Ax|Ay)}{|Ax||Ay|}=frac{(x|y)}{|x||y|}$
Giusto?
Inoltre ho appuntato che allora A è ingettiva.. tuttavia non riesco più a dimostrarlo..
E non trovo aiuto su libri e internet..
Data $A:RR^n->RR^n$ lineare continua
$A$ è conforme $<=>$ $forall x,y in RR^n-{0}: frac{(Ax|Ay)}{|Ax||Ay|}=frac{(x|y)}{|x||y|}$
ora: un'altra caratterizzazione delle funzioni conformi è: conservano gli angoli.
Cerco di dirlo: conservare gli angoli vuol dire (con le ipotesi che rendono sensato quel che sto per scrivere, cioè che i due vettori non siano nulli, altrimenti non è definito l'angolo) che $arccos frac{(Ax|Ay)}{|Ax||Ay|}=arc cos frac{(x|y)}{|x||y|}$
e ciò accade se e solo se $frac{(Ax|Ay)}{|Ax||Ay|}=frac{(x|y)}{|x||y|}$
Giusto?
Inoltre ho appuntato che allora A è ingettiva.. tuttavia non riesco più a dimostrarlo..
E non trovo aiuto su libri e internet..
Risposte
si esatto quello che dici, anche se io avevo un'altra definizione che però è equivalente a questa in quanto è fatta per varietà riemanniane, e quindi essendo iniettiva allora è anche suriettiva poichè è un'applicazione lineare e quindi è anche un omeomorfismo sull'immagine.
osserva bene che conserva gli angoli però in una definizione più generale non conserva le lunghezze in quanto vi è un'applicazione $alpha$ positiva a fattore.
ciao ciao
osserva bene che conserva gli angoli però in una definizione più generale non conserva le lunghezze in quanto vi è un'applicazione $alpha$ positiva a fattore.
ciao ciao
Grazie per i chiarimenti.
Tuttavia rimane insoluta la domanda: ma è ingettiva? Puoi darmene una giustificazione in $RR^n$? (che immagino sia sicuramente una varietà riemanniana
)
Ho pensato però che: se non fosse ingettiva quanto da me scritto come definizione potrebbe non avere senso, visto che potrebbe trasformare vettori non nulli in vettori nulli, e far venir meno il concetto di angolo..
Ma allora lo devo assumere? O più semplicemente..aspetto di studiarla in seguito, per ora lo assumo, e poi avrò la giustificazione?
Tuttavia rimane insoluta la domanda: ma è ingettiva? Puoi darmene una giustificazione in $RR^n$? (che immagino sia sicuramente una varietà riemanniana
)Ho pensato però che: se non fosse ingettiva quanto da me scritto come definizione potrebbe non avere senso, visto che potrebbe trasformare vettori non nulli in vettori nulli, e far venir meno il concetto di angolo..
Ma allora lo devo assumere? O più semplicemente..aspetto di studiarla in seguito, per ora lo assumo, e poi avrò la giustificazione?
secondo la tua definizione se non fosse iniettiva non avrebbe senso però osserva che se $Ax=Ay$ allora $=|x||y|$ cioè sono allineati ma non ti dice nulla sul fatto che siano uguali...in quanto come ho detto conserva gli angoli ma non le lunghezze
Ah! ora capisco la tua precisazione.. grazie!
Quindi lo assumo.. e quando sarò più grande capirò!
Quindi lo assumo.. e quando sarò più grande capirò!
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