Applicazione bilineare
$ A=( ( 3 , 2 ),( 2 , 0 ) ) $
è l'applicazione bilineare $ Phi(x,y)=y^(t)*A*x $
devo verificare se è un applicazione bilineare simmetrica e se è un prodotto scalare.
pensavo di procedere in questo modo:
per verificare se è un'applicazione bilineare simmetrica effettuando il prodotto $ Phi(x,y)=y^(t)*A*x $ deve ottenere una matrice simmetrica.
per verificare se è un prodotto scalare deve essere simmetrica, definita positiva e non degenere.
è definita positiva se tutti gli autovalori sono maggiori di zero.
se una forma bilineare simmetrica è definita positiva allora è anche non degenere
calcoli effettuati:
$ ( ( 3 , 2 ),( 2 , 0 ) ) *( ( x ),( y ) ) =( ( 3x , 2y ),( 2x , 0 ) ) $
considero:
$ y= ((2),(0)) $
$ y^(t)= ( 2 \ \ 0 ) $
$ x=( ( 3 ),( 2 ) ) $
A=$ ( ( 3 , 2 ),( 2 , 0 ) )$
$ $ Phi(x,y)= ( 2 \ \ 0 ) *( ( 3 , 2 ),( 2 , 0 ) )* ( ( 3 ),( 2 ) ) $ $
il mio ragionamento è la mia impostazione sono coretti?
grazie a tutti coloro che contribuiranno ad aiutarmi
è l'applicazione bilineare $ Phi(x,y)=y^(t)*A*x $
devo verificare se è un applicazione bilineare simmetrica e se è un prodotto scalare.
pensavo di procedere in questo modo:
per verificare se è un'applicazione bilineare simmetrica effettuando il prodotto $ Phi(x,y)=y^(t)*A*x $ deve ottenere una matrice simmetrica.
per verificare se è un prodotto scalare deve essere simmetrica, definita positiva e non degenere.
è definita positiva se tutti gli autovalori sono maggiori di zero.
se una forma bilineare simmetrica è definita positiva allora è anche non degenere
calcoli effettuati:
$ ( ( 3 , 2 ),( 2 , 0 ) ) *( ( x ),( y ) ) =( ( 3x , 2y ),( 2x , 0 ) ) $
considero:
$ y= ((2),(0)) $
$ y^(t)= ( 2 \ \ 0 ) $
$ x=( ( 3 ),( 2 ) ) $
A=$ ( ( 3 , 2 ),( 2 , 0 ) )$
$ $ Phi(x,y)= ( 2 \ \ 0 ) *( ( 3 , 2 ),( 2 , 0 ) )* ( ( 3 ),( 2 ) ) $ $
il mio ragionamento è la mia impostazione sono coretti?
grazie a tutti coloro che contribuiranno ad aiutarmi
Risposte
"cri98":
effettuando il prodotto $ Phi(x,y)=y^(t)*A*x $ deve ottenere una matrice
$(y^(t)*A*x) in RR$.I "calcoli effettuati" non li ho capiti, per quale scopo li avresti effettuati?
ciao, Magma
ho effettuati questi calcoli per cercare di verificare se la matrice che ottengo risulta simmetrica.
però non so se sia corretto.
Grazie!
ho effettuati questi calcoli per cercare di verificare se la matrice che ottengo risulta simmetrica.
però non so se sia corretto.
Grazie!
Ma la matrice ti viene fornita: è proprio $A$.
$Phi(y,x):=y^tAx=(y_1, y_2)((3,2),(2,0))((x_1),(x_2)), qquad AA y,x in RR^2$
$Phi(y,x):=y^tAx=(y_1, y_2)((3,2),(2,0))((x_1),(x_2)), qquad AA y,x in RR^2$
quindi basta effettuare queste moltiplicazioni tra matrici per ottenere la matrice richiesta e verificare se è bilineare?
Grazie!
Grazie!
Scusa però è necessario uno studio minimo perché altrimenti non ci intenderemo mai. 
Non è richiesta la determinazione di nessuna matrice, ma verificare se la matrice $A$ induce una forma bilineare simmetrica e se essa può essere un prodotto scalare. Ho esplicitato quel prodotto perché quello da te effettuo non è una forma bilineare. Data
$b: VxxV->RR$
$b$ è una forma bilineare se, $AA v,w in V, AA lambda in RR$, si ha
$1) qquad b(v,w+u)=b(v,w)+b(v,u)$
$2) qquad b(v+w,u)=b(v,u)+b(w,u)$
$3 qquad b(lambdav,w)=b(v,lambdaw)=lambdab(v,w)$
$2) qquad b(v+w,u)=b(v,u)+b(w,u)$
$3 qquad b(lambdav,w)=b(v,lambdaw)=lambdab(v,w)$
$b$ si dice simmetrica se
$b(v,w)=b(w,v), qquad AA v,w in V$
$b$ si dice definita positiva se
$b(v,v)>0, qquad AA v in V$
A te la verifica che, posto $V=RR^n, A in M_n(RR)$,
$b_A: VxxV->RR$
definito $b(v,w)=v^tAw$
è una forma bilineare.Inoltre, essendo la matrice associata a $b=b_A$ rispetto alla base $mathcalB$ di $V$ è definita come segue
$M_B(b)=( ( b(v_1,v_1) , cdots , b(v_1,v_n) ),( vdots , ddots , vdots ),( b(v_n,v_1) , cdots , b(v_n,v_n) ) ) $
ed è immediato verificare che, considerata la base canonica, si ottiene
$A=M_E(b)$
Ciao Magma!
la difficoltà che trovo risiede nell'applicazione pratica delle definizioni.
cioè io leggo la definizione ma nella pratica non so come applicarla.
puoi darmi un aiuto con un esempio pratico?
Grazie
la difficoltà che trovo risiede nell'applicazione pratica delle definizioni.
cioè io leggo la definizione ma nella pratica non so come applicarla.
puoi darmi un aiuto con un esempio pratico?
Grazie
"cri98":
la difficoltà che trovo risiede nell'applicazione pratica delle definizioni.
cioè io leggo la definizione ma nella pratica non so come applicarla.
Quando non sai cosa fare, applica banalmente la definizione!
Allora, se $v,w, u in RR^n$ e posto $b=b_A$, ed essendo il prodotto riga per colonna distributivo rispetto alla somma tra matrici, la proprietà $1)$ si verifica subito
$b(v,w+u)=v^tA(w+u)=v^tAw+v^tAu=b(v,w)+b(v,u)$
in modo del tutto analogo si verifica anche la $2)$.
La bilinearità segue immediatamente dalla definizioni di prodotto di una matrice per uno scalare:
$b(v,lambdaw)=b(lambdav,w)=lambdab(v,w), qquad AA lambda in RR$
$v^tA(lambdaw)=(lambdav^t)Aw=lambda(v^tAw)$
$v^tA(lambdaw)=(lambdav^t)Aw=lambda(v^tAw)$
Per quanto riguarda la simmetria e la positività sapresti dire qualcosa? (È una domanda retorica
)
ciao, Magma
nonostante tutte queste definizioni
ho bisogno di capire come svolgere ad esempio questo esercizio:
si consideri la matrice
$ A=( ( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 3 , 4 ),( 3 , 4 , 5 ) ) $
e sia $ Phi(x,y): R^3x R^3rarr R $ definita da $Phi(x,y)=y^t*A*x$
Phi è bilineare simmetrica ma non è un prodotto scalare
Phi è un prodotto scalare
Phi è bilineare ma non è simmetrica
la mia difficoltà sta nel capire come trovare y^t e x
come verifico operativamente le tre risposte proposte?(ho bisogno di vedere lo svolgimento in modo tale che siano più comprensibile le definizioni)
Grazie per il tuo aiuto!
nonostante tutte queste definizioni
ho bisogno di capire come svolgere ad esempio questo esercizio: si consideri la matrice
$ A=( ( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 3 , 4 ),( 3 , 4 , 5 ) ) $
e sia $ Phi(x,y): R^3x R^3rarr R $ definita da $Phi(x,y)=y^t*A*x$
Phi è bilineare simmetrica ma non è un prodotto scalare
Phi è un prodotto scalare
Phi è bilineare ma non è simmetrica
la mia difficoltà sta nel capire come trovare y^t e x
come verifico operativamente le tre risposte proposte?(ho bisogno di vedere lo svolgimento in modo tale che siano più comprensibile le definizioni)
Grazie per il tuo aiuto!
Prima di tutto $b=b_A: VxxV->RR$ forma bilineare è simmetrica $hArr A=M_B(b)$ è simmetrica per ogni base $mathcalB$ di $V$ ([nota]$b(v,w)=v^tAw=(v^tAw)^t=w^tA^t(v^t)^t=w^tAv=b(w,v)$; QED.[/nota]).
È immediato notare che $A$ sia simmetrica. Resta da accertare se $Phi$ sia prodotto scalare o meno, il che equivale a verificare che $Phi(x,x)>0, qquad AA x in RR^3$, ovvero equivale a verificare che l'endomorfismo $f: RR^3->RR^3$ indotto da $A$ abbia solo autovalori positivi. Tuttavia essendo
ciò significa che
quindi la risposta corretta è la prima.
Non capisco perché ti ostini a cercare $x,y in RR^3$ ([nota]Risulta proficuo invece in caso di confutazione di un asserzione in quanto è sufficiente un solo controesempio.[/nota]); la definizione di forma bilineare deve valere necessariamente per ogni vettore dello spazio vettoriale: non ti basterebbe una sola vita.
È immediato notare che $A$ sia simmetrica. Resta da accertare se $Phi$ sia prodotto scalare o meno, il che equivale a verificare che $Phi(x,x)>0, qquad AA x in RR^3$, ovvero equivale a verificare che l'endomorfismo $f: RR^3->RR^3$ indotto da $A$ abbia solo autovalori positivi. Tuttavia essendo
$R_3=2R_2-R_1 qquad$ ([nota]Con $R_i$ indico l'i-esima riga.[/nota])
ciò significa che
$r(A)=2 hArr ker(f)ne{bar0}$
quindi la risposta corretta è la prima.
Non capisco perché ti ostini a cercare $x,y in RR^3$ ([nota]Risulta proficuo invece in caso di confutazione di un asserzione in quanto è sufficiente un solo controesempio.[/nota]); la definizione di forma bilineare deve valere necessariamente per ogni vettore dello spazio vettoriale: non ti basterebbe una sola vita.
Ciao, Magma
allora se ho ben capito;
in questo caso la matrice a risulta simmetrica, per verificare se è un prodotto scalare devo verificare se tutti gli autovalori sono positivi.
ci sono?
però non ho capito
questa espressione $ A=M_B(b) $ la matrice $M_B$ in questo caso da quali elementi è formata?
Grazie per l'aiuto
allora se ho ben capito;
in questo caso la matrice a risulta simmetrica, per verificare se è un prodotto scalare devo verificare se tutti gli autovalori sono positivi.
ci sono?
però non ho capito
questa espressione $ A=M_B(b) $ la matrice $M_B$ in questo caso da quali elementi è formata?Grazie per l'aiuto
"cri98":
Ciao, Magma
allora se ho ben capito;
in questo caso la matrice a risulta simmetrica, per verificare se è un prodotto scalare devo verificare se tutti gli autovalori sono positivi.
ci sono?
"cri98":
però non ho capito
Quella è un'asserzione generale; nel tuo caso particolare $M_E(b)$, dove $mathcalE$ è la base canonica, coincide con la matrice data. Colpa mia che non ho usato un nome diverso per la matrice
.
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