Applicazione affine
Mi trovo sempre allo stesso punto:
Nello spazio euclideo $E_3$ con fissato riferimento R sia alpha un piano di equazione $x+y=1$ ed r la retta rappresentata da $ { ( x+z=1 ),( y=z ):} $ .
Rappresentare in R una applicazione affine u tale che u(alpha)=r.
Il mio problema è che non ho alcun esempio di questo tipo di esercizi. C'è qualcuno che mi può dire come si possono risolvere in generale, tali tipologie?
Nello spazio euclideo $E_3$ con fissato riferimento R sia alpha un piano di equazione $x+y=1$ ed r la retta rappresentata da $ { ( x+z=1 ),( y=z ):} $ .
Rappresentare in R una applicazione affine u tale che u(alpha)=r.
Il mio problema è che non ho alcun esempio di questo tipo di esercizi. C'è qualcuno che mi può dire come si possono risolvere in generale, tali tipologie?
Risposte
In generale, un'applicazione affine è determinata se conosci come agisce su 4 punti affinemente indipendenti.
La sua equazione è nella forma
$X'=AX+b$
dove $X=((x),(y),(z))$ e $X'=((x'),(y'),(z'))$ sono rispettivamente le coordinate del generico punto e del suo trasformato mediante l'applicazione affine.
In questo caso prendi quattro punti opportuni nello spazio affine e imponi le condizioni note.
La sua equazione è nella forma
$X'=AX+b$
dove $X=((x),(y),(z))$ e $X'=((x'),(y'),(z'))$ sono rispettivamente le coordinate del generico punto e del suo trasformato mediante l'applicazione affine.
In questo caso prendi quattro punti opportuni nello spazio affine e imponi le condizioni note.
Ma quattro sono affinemente indipendenti se e solo se non sono contenuti in un piano affine.
Come posso fare a prenderli? Quali devo considerare?
Come posso fare a prenderli? Quali devo considerare?
Ne prendi tre affinemente indipendenti sul piano e uno che non vi appartiene, in modo che i quattro siano affinemente indipendenti.
Poi devi solo scegliere le corrispondenti immagini in modo opportuno.
Poi devi solo scegliere le corrispondenti immagini in modo opportuno.
Quindi prendo, per esempio (1,0,0),(0,1,0) e (1,0,1) del piano.
(2,1,0) quello che non vi appartiene.
dunque:
u(1,0,0)=(0,1,1)
u(0,1,0)=(1,0,0)
u(1,0,1)=(-1,2,2)
u(2,1,0)=(1,2,3)
e poi?
(2,1,0) quello che non vi appartiene.
dunque:
u(1,0,0)=(0,1,1)
u(0,1,0)=(1,0,0)
u(1,0,1)=(-1,2,2)
u(2,1,0)=(1,2,3)
e poi?
E poi imponi usando l'equazione che ti ho scritto prima
$X'=AX+b$.
Comunque, secondo me, almeno in questi casi in cui c'è una scelta arbitraria, conviene scegliere i punti in modo da fare il minor numero di calcoli.
Per esempio, come immagini ti conviene scegliere coordinate migliori.
In questo caso l'unica condizione da imporre è che le immagini dei primi tre punti siano in $r$ (di cui almeno due distinte).
Ora non ti resta che provare a fare i conti...
[mod="cirasa"]In questo post ti avevo invitato ad usare le formule. Perchè ogni tanto te ne dimentichi?[/mod]
$X'=AX+b$.
Comunque, secondo me, almeno in questi casi in cui c'è una scelta arbitraria, conviene scegliere i punti in modo da fare il minor numero di calcoli.
Per esempio, come immagini ti conviene scegliere coordinate migliori.
In questo caso l'unica condizione da imporre è che le immagini dei primi tre punti siano in $r$ (di cui almeno due distinte).
Ora non ti resta che provare a fare i conti...
[mod="cirasa"]In questo post ti avevo invitato ad usare le formule. Perchè ogni tanto te ne dimentichi?[/mod]
Ok:
A è formata della immagini messe in colonna? e b cosa è?
A è formata della immagini messe in colonna? e b cosa è?
La prima possibilità di cui disponi è la forza bruta.
L'equazione, come ti ho detto, è $X'=AX+b$ dove $A$ è una matrice e $b$ è un vettore.
Ti basta sostituire ad $X$ e $X'$ le coordinate dei punti in modo corrispondente e trovi la matrice $A$ con un grosso sistema.
Forse però questo metodo è troppo dispendioso. Te ne dico un altro.
Il trucco è ripercorrere la dimostrazione dell'esistenza e unicità di un'applicazione affine date le immagini di $n+1$ punti affinemente indipendenti ($n$ è la dimensione dello spazio affine).
Nel nostro caso, in dimensione $3$, se $P,A,B,C$ sono i 4 punti affinemente indipendenti e $P',A',B',C'$ sono le corrispondenti immagini, puoi costruire l'endomorfismo che trasforma i vettori $PA,PB,PC$ rispettivamente in $P'A',P'B',P'C'$.
Allora $A$ è la matrice associata a tale endomorfismo rispetto alla base fissata.
$b$, invece, è la terna delle coordinate di $P'$.
L'equazione, come ti ho detto, è $X'=AX+b$ dove $A$ è una matrice e $b$ è un vettore.
Ti basta sostituire ad $X$ e $X'$ le coordinate dei punti in modo corrispondente e trovi la matrice $A$ con un grosso sistema.
Forse però questo metodo è troppo dispendioso. Te ne dico un altro.
Il trucco è ripercorrere la dimostrazione dell'esistenza e unicità di un'applicazione affine date le immagini di $n+1$ punti affinemente indipendenti ($n$ è la dimensione dello spazio affine).
Nel nostro caso, in dimensione $3$, se $P,A,B,C$ sono i 4 punti affinemente indipendenti e $P',A',B',C'$ sono le corrispondenti immagini, puoi costruire l'endomorfismo che trasforma i vettori $PA,PB,PC$ rispettivamente in $P'A',P'B',P'C'$.
Allora $A$ è la matrice associata a tale endomorfismo rispetto alla base fissata.
$b$, invece, è la terna delle coordinate di $P'$.
grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo