Appartenenza punto a una retta in equazione parametrica

[franbisc]

Qual è il modo più veloce per verificare se un punto appartiene ad una retta data in forma parametrica?
Io ho prima trasformato l'equazione in forma cartesiana,e poi banalmente sostituito la x,y e z del punto nelle coordinate x,y e z del sistema in forma cartesiana

[ciampax]

Se la retta è $x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct$ (dove conosci tutti i valori $x_0,y_0,z_0,a,b,c$ e il punto da verificare è $(\alpha,\beta,\gamma)$, basta che esista $t\in RR$ tale che

$\alpha=x_0+at,\ \beta=y_0+bt,\ \gamma=z_0+ct$

o equivalentemente

${\alpha-x_0}/a={\beta-y_0}/b={\gamma-z_0}/c$

e, in parole povere, che il vettore $u=(\alpha-x_0,\beta-y_0,\gamma-z_0)$ sia parallelo a $v=(a,b,c)$ (il vettore direzione della retta. Per fare questo, basta verificare che $u\wedge v=0$ (il prodotto vettoriale).

[franbisc]

Perfetto,grazie,ma anche il mio metodo è corretto ?

[ciampax]

Certo, ma ricavare l'espressione cartesiana da quella parametrica a volte può essere una seccatura.

[franbisc]

Certamente.
Comunque non ho capito bene questo passaggio

"ciampax":${\alpha-x_0}/a={\beta-y_0}/b={\gamma-z_0}/c$
E,IN PAROLE POVERE, che il vettore $u=(\alpha-x_0,\beta-y_0,\gamma-z_0)$ sia parallelo a $v=(a,b,c)$ (il vettore direzione della retta. Per fare questo, basta verificare che $u\wedge v=0$ (il prodotto vettoriale).

[ciampax]

Se due vettori hanno le componenti tutte nello stesso rapporto, questo implica che sono proporzionali l'uno all'altro (ad esempio $(1,2,3)$ e $(5,10,15)$) e, in aggiunta, questo implica che i vettori sono paralleli. Un metodo per verificare se due vettori sono paralleli, nello spazio, è quello di verificare che il loro prodotto vettoriale sia nullo.