App. lineare, unicita' implica indipendenza?
Siano $V,W$ due spazi vettorili, siano ${v_1, ..., v_n}, {w_1, ..., w_n}$ $n$-uple rispettivamente di $V$ e di $W$.
Se esiste ed e' unica un'applicazione lineare $f:V->W$ tale che $f(v_i)=w_i$, si puo' concludere che ${v_1, ..., v_n}$ sono linearmente indipendenti?
Nota: il dubbio mi viene dal ben noto teorema di unicita' che enuncio per chiarezza:
(e' quasi il vice versa di quello proposto)
Siano $V,W$ due spazi vettoriali, sia ${v_1, ..., v_n}$ una base di $V$,e ${w_1, ..., w_n}$ una $n$-upla di $W$.
Allora esiste ed e' unica l'app. lineare tale che $f(v_i) = w_i$
Se esiste ed e' unica un'applicazione lineare $f:V->W$ tale che $f(v_i)=w_i$, si puo' concludere che ${v_1, ..., v_n}$ sono linearmente indipendenti?
Nota: il dubbio mi viene dal ben noto teorema di unicita' che enuncio per chiarezza:
(e' quasi il vice versa di quello proposto)
Siano $V,W$ due spazi vettoriali, sia ${v_1, ..., v_n}$ una base di $V$,e ${w_1, ..., w_n}$ una $n$-upla di $W$.
Allora esiste ed e' unica l'app. lineare tale che $f(v_i) = w_i$
Risposte
Così a occhio direi di no, potrebbe succedere ad esempio che la dimensione dei due spazi sia minore di $n$.
si esatto, anch'io intuitivamente penso che non valga l'implicazione... non ho pero' avuto tempo per cercare un controesempio...
Be', se $f(v) = w$ allora $f(\alpha v) = \alpha w$, per la linearità, e vedi bene che $v$ e $\alpha v$ sono vettori linearmente dipendenti.
certo, ma cosi' non siamo nel caso in cui esiste un'unica $f$ che ha quell'immagine...
amenoche' tu non intenda $V =$...
amenoche' tu non intenda $V =
Sono stato un po' conciso, io intendevo questo sia $f: V \to W$, con $\dim(V) = \dim(W)$ sia $\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ una base di $V$, e sia $f$ tale che
$f(\alpha v_1) = \alpha w_1$
$f(v_1) = w_1$
$f(v_2) = w_2$
$\vdots$
$f(v_n) = w_n$
Sarai d'accordo con me che l'insieme $\{\alpha v_1, v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ è dipendente.
$f(\alpha v_1) = \alpha w_1$
$f(v_1) = w_1$
$f(v_2) = w_2$
$\vdots$
$f(v_n) = w_n$
Sarai d'accordo con me che l'insieme $\{\alpha v_1, v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ è dipendente.
ora e' piu' chiaro, grazie.
"vl4d":
Siano $V,W$ due spazi vettorili, siano ${v_1, ..., v_n}, {w_1, ..., w_n}$ $n$-uple rispettivamente di $V$ e di $W$.
Se esiste ed e' unica un'applicazione lineare $f:V->W$ tale che $f(v_i)=w_i$, si puo' concludere che ${v_1, ..., v_n}$ sono linearmente indipendenti?
Se poi imponi che $\{w_1, w_2, \ldots, w_n\}$ sia indipendente, il discorso potrebbe essere diverso.
verissimo, se $\{w_1, w_2, \ldots, w_n\}$ e' indipendente si ha:
da $sum_{i=1}^{n}\alpha_i v_i = 0$ segue $sum_{i=1}^{n}\alpha_i f(v_i) = sum_{i=1}^{n}\alpha_i w_i = 0$ dunque $\alpha_i=0$ per l'ipotesi di indipendenza dei $w_i$... (l'unicita' di $f$ non serve piu')
da $sum_{i=1}^{n}\alpha_i v_i = 0$ segue $sum_{i=1}^{n}\alpha_i f(v_i) = sum_{i=1}^{n}\alpha_i w_i = 0$ dunque $\alpha_i=0$ per l'ipotesi di indipendenza dei $w_i$... (l'unicita' di $f$ non serve piu')
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