App. lineare $L:mathbb(R)^4rarr mathbb(R)^2$

[shiva28]

Buongiorno,

Testo:
Stabilire motivando la risposta, se esiste un'applicazione lineare $L:mathbb(R)^4rarr mathbb(R)^2$ tale che:
Il $KerL$ abbia le seguenti equazioni ${ ( x_1-x_3=0 ),( x_1-x_2=0 ):}$.


Che ragionamento devo seguire partendo dalle equazioni del $KerL$?
Devo ricavare la matrice di rappresentazione dell'applicazione lineare?

Saluti

[vict85]

Penso che sia sufficiente un discorso sulle dimensioni dei vari sottospazi coinvolti. Oppure puoi anche scrivere materialmente una applicazione con quelle proprietà.

[shiva28]

Grazie vict85,
Quindi l'applicazione lineare potrebbe essere proprio la seguente?
Dato che il $KerL$ è per definizione l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione.

$L( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ),( x_4 ) ) =( ( x_1−x_3 ),( x_1−x_2 ) ) $

Da cui posso ricavare la matrice $A$ di ordine 2x4:

$A=( ( 1 , 0 , -1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 , 0 ) ) $


$Dim\ ImL=rg(A)=2$

Mentre dal teorema delle dimensioni:
$Dim\ KerL= Dim\ mathbb(R)^4-Dim\ ImL=2$

[vict85]

Mi sembra corretto.