Aperto e intorno
Salve, scusatemi per questa domanda banale ma ho un dubbio: in uno spazio topologico generale i concetti di aperto e intorno possono essere considerati come sinonimi?
Risposte
Non direi, anche se i concetti sono in qualche modo connessi.
Un intorno di un punto \(x\) in uno spazio topologico \(X\) è un insieme \(U\) tale che esiste un aperto \(A\) contenuto in \(U\) e che contiene \(x\). Ossia \(x\in A\subseteq U\).
Occhio, perché un intorno non è necessariamente un aperto. Ci sono intorni aperti e anche chiusi.
Un intorno di un punto \(x\) in uno spazio topologico \(X\) è un insieme \(U\) tale che esiste un aperto \(A\) contenuto in \(U\) e che contiene \(x\). Ossia \(x\in A\subseteq U\).
Occhio, perché un intorno non è necessariamente un aperto. Ci sono intorni aperti e anche chiusi.
esattamente infatti è stato proprio quest'ultimo punto a farmi venire il dubbio. diciamo che il falso concetto mi è venuto leggendo una proposizione in cui si afferma che A è aperto se e solo se appartiene al sistema di intorni di un punto $x \in X$
un altra domanda: l'uguaglianza nell'inclusione che "A \subseteq U" vale solo quando A è aperto?
\(A\) è un aperto. Semmai è l'intorno \(U\) a non esserlo. Chiaramente quando \(U\) è aperto, quell'inclusione non è propria.
Si, volevo dire U. Ho sbagliato a scrivere 
. Quindi se ho capito bene c'è inclusione propria solo se U no è aperto? Per quanto riguarda i sistemi fondamentali di intorni di un punto x, posso dire che costituiscono in generale una famiglia di insiemi invadenti? Come posso definire una base per uno spazio topologico X? Grazie
. Quindi se ho capito bene c'è inclusione propria solo se U no è aperto? Per quanto riguarda i sistemi fondamentali di intorni di un punto x, posso dire che costituiscono in generale una famiglia di insiemi invadenti? Come posso definire una base per uno spazio topologico X? Grazie
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