Antiimmagine di vettori in spazi vettoriali ed endomorfismi
Buonasera a tutti! nuovo giorno nuovo problema che vi propongo a -4 giorni dal mio esame di algebra.
il problema è il seguente:
dato l'endomorfismo f di R3
$ f^-1( -1 , 0 , 1 ) = ( -1 , 0 , 1 ) +<( 1 , 2 , 1 ),( 2 , 1 , 2 )> $
1)determinare la matrice associata rispetto alla base canonica di R3
2) determinare base del nucleo e dell'immagine. l'applicazione lineare è iniettiva, suriettiva?
3)determinare una base ortonormale B tale che la matrice associata a f rispetto a tale base sia:
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
4)determinare tutti i valori di k reale tale che esista un endomorfismo $ fk $
$ f^-1( -1 , 0 , 1 ) = ( -1 , 0 , 1 ) +<( 1 , 2 , 1 ),( 2 , 1 , 2 )> $
il ragionamento che ho fatto è: il vettore ( -1 , 0 , 1 ) è un vettore che appartiene al dominio dell'endomorfismo che attraverso la funzione va in se stesso. i due vettori <( 1 , 2 , 1 ),( 2 , 1 , 2 )> definiscono il nucleo della funzione. i tre vettori sono linearmente indipendenti e quindi possono formare una base del dominio. in questo modo sfrutto la combinazione dei vettori della suddetta base per ottenere i vettore della base canonica. ne calcolo quindi le immagini tenendo conto dei coefficienti che moltiplicano i vettori ( -1 , 0 , 1 ) ( 1 , 2 , 1 ),( 2 , 1 , 2 ) e trovo così le immagini dei vettori della base canonica le quali saranno le colonne della matrice associata. il problema è che quando poi vado a verificare ad esempio che: chiamo A la matrice associata ad f--> allora A*( 1,2,1 )=(0,0,0) ad esempio, perchè sappiamo che il vettore (1,2,1) appartiene al nucleo, non ottengo l'uguaglianza.
grazie a chi risponderà! siete davvero gentilissimi soprattutto per chi come me ha esami a momenti!
Grazie.
il problema è il seguente:
dato l'endomorfismo f di R3
$ f^-1( -1 , 0 , 1 ) = ( -1 , 0 , 1 ) +<( 1 , 2 , 1 ),( 2 , 1 , 2 )> $
1)determinare la matrice associata rispetto alla base canonica di R3
2) determinare base del nucleo e dell'immagine. l'applicazione lineare è iniettiva, suriettiva?
3)determinare una base ortonormale B tale che la matrice associata a f rispetto a tale base sia:
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
4)determinare tutti i valori di k reale tale che esista un endomorfismo $ fk $
$ f^-1( -1 , 0 , 1 ) = ( -1 , 0 , 1 ) +<( 1 , 2 , 1 ),( 2 , 1 , 2 )> $
il ragionamento che ho fatto è: il vettore ( -1 , 0 , 1 ) è un vettore che appartiene al dominio dell'endomorfismo che attraverso la funzione va in se stesso. i due vettori <( 1 , 2 , 1 ),( 2 , 1 , 2 )> definiscono il nucleo della funzione. i tre vettori sono linearmente indipendenti e quindi possono formare una base del dominio. in questo modo sfrutto la combinazione dei vettori della suddetta base per ottenere i vettore della base canonica. ne calcolo quindi le immagini tenendo conto dei coefficienti che moltiplicano i vettori ( -1 , 0 , 1 ) ( 1 , 2 , 1 ),( 2 , 1 , 2 ) e trovo così le immagini dei vettori della base canonica le quali saranno le colonne della matrice associata. il problema è che quando poi vado a verificare ad esempio che: chiamo A la matrice associata ad f--> allora A*( 1,2,1 )=(0,0,0) ad esempio, perchè sappiamo che il vettore (1,2,1) appartiene al nucleo, non ottengo l'uguaglianza.
grazie a chi risponderà! siete davvero gentilissimi soprattutto per chi come me ha esami a momenti!
Grazie.
Risposte
nessuna idea per questo problema??
Devi aver fatto qualche sbaglio. In effetti hai trovato che :
a) $f(-1,0,1)^t=(-1,0,1)^t$
b) $f(1,2,1)^t=(0,0,0)^t$
c) $f(2,1,2)^t=(0,0,0)^t$
Mettendo insieme (a), (b) e (c) abbiamo che la matrice M associata ad f ( rispetto alla base canonica) è :
$M=((-1,0,0),(0,0,0),(1,0,0)) cdot ((-1,1,2),(0,2,1),(1,1,2))^{-1}=((1/2,0,-1/2),(0,0,0),(-1/2,0,1/2))$
E questa matrice funzione...
N.B. $[(a,b,c)^t$ significa $((a),(b),(c))]$
a) $f(-1,0,1)^t=(-1,0,1)^t$
b) $f(1,2,1)^t=(0,0,0)^t$
c) $f(2,1,2)^t=(0,0,0)^t$
Mettendo insieme (a), (b) e (c) abbiamo che la matrice M associata ad f ( rispetto alla base canonica) è :
$M=((-1,0,0),(0,0,0),(1,0,0)) cdot ((-1,1,2),(0,2,1),(1,1,2))^{-1}=((1/2,0,-1/2),(0,0,0),(-1/2,0,1/2))$
E questa matrice funzione...
N.B. $[(a,b,c)^t$ significa $((a),(b),(c))]$
grazie innanzitutto per aver colmato il mio dubbio...anche se:
quando mi viene richiesto di determinare la matrice associata rispetto alla base canonica non dovrei prendere i vettori della base canonica, esprimerli come combinazione dei vettori della base che possiedo nel dominio e poi fare le immagini dei coefficienti *i vettori della base? tipo:
(1,0,0)=k1*v1+k2*v2+k3*v3 da cui f(1,0,0)=k1f(v1)+k2f(v2)+k3f(v3)
e cio che ottengo metterlo come colonna della matrice associata?
quando mi viene richiesto di determinare la matrice associata rispetto alla base canonica non dovrei prendere i vettori della base canonica, esprimerli come combinazione dei vettori della base che possiedo nel dominio e poi fare le immagini dei coefficienti *i vettori della base? tipo:
(1,0,0)=k1*v1+k2*v2+k3*v3 da cui f(1,0,0)=k1f(v1)+k2f(v2)+k3f(v3)
e cio che ottengo metterlo come colonna della matrice associata?
"ciromario":
Devi aver fatto qualche sbaglio. In effetti hai trovato che :
a) $f(-1,0,1)^t=(-1,0,1)^t$
b) $f(1,2,1)^t=(0,0,0)^t$
c) $f(2,1,2)^t=(0,0,0)^t$
Mettendo insieme (a), (b) e (c) abbiamo che la matrice M associata ad f ( rispetto alla base canonica) è :
$M=((-1,0,0),(0,0,0),(1,0,0)) cdot ((-1,1,2),(0,2,1),(1,1,2))^{-1}=((1/2,0,-1/2),(0,0,0),(-1/2,0,1/2))$
E questa matrice funzione...
N.B. $[(a,b,c)^t$ significa $((a),(b),(c))]$
grazie innanzitutto per aver colmato il mio dubbio...anche se:
quando mi viene richiesto di determinare la matrice associata rispetto alla base canonica non dovrei prendere i vettori della base canonica, esprimerli come combinazione dei vettori della base che possiedo nel dominio e poi fare le immagini dei coefficienti *i vettori della base? tipo:
(1,0,0)=k1*v1+k2*v2+k3*v3 da cui f(1,0,0)=k1f(v1)+k2f(v2)+k3f(v3)
e cio che ottengo metterlo come colonna della matrice associata?
Ho rifatto i calcoli col tuo metodo e mi risulta :
\(\displaystyle \begin{cases}f(e_1)=(\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2})\\f(e_2)=(0,0,0)\\f(e_3)=(-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}) \end{cases} \)
Mettendo poi in colonna si trova la medesima matrice da me indicata.
Controlla...
\(\displaystyle \begin{cases}f(e_1)=(\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2})\\f(e_2)=(0,0,0)\\f(e_3)=(-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}) \end{cases} \)
Mettendo poi in colonna si trova la medesima matrice da me indicata.
Controlla...
grazie ancora per la disponibilità. rifarò i calcoli:)
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