Angolo di vettori numerici

[melli13]

Dare la definizione di angolo tra due vettori numerici a n componenti.

Un angolo tra due vettori numerici a n componenti è dato dall'arcoseno del rapporto fra il prodotto scalare dei due vettori con i rispettivi moduli. In formule:
$α=arcsin ((u.v)/(|u||v|))$, dove u e v sono i due vettori numeri a n componenti

Che ne dite?

[ciampax]

L'arcoseno? La definizione di prodotto scalare dice che

[tex]$=|v|\cdot|w|\cdot\cos\theta$[/tex]

quindi direi che è l'arcocoseno.

[melli13]

Si si....mi sono confusa....volevo dire l'arcocoseno...=)!!

[ciampax]

Bene. Il problema però, a questo punto, è capire bene come definire l'arcocoseno però. Pensa ad un caso semplice (mettiti in $RR^2$): uno dei due vettori è $(1,0)$ (la direzione dell'asse delle $x$) mentre per l'altro hai due scelte: $w_1=(1,1)$ e $w_2=(-1,-1)$. Ora, nel primo caso ottieni facilmente che $\theta_1=\pi/4$ dalla definizione scritta sopra. Ma nell'altro caso dovrebbe essere $\theta_2={5\pi}/4$ mentre usando la definizione dell'arcocoseno trovi $\theta_2={3\pi}/4$. Come fai allora a trovare l'angolo giusto?

[melli13]

L'arcocoseno a $-sqrt(2)/2$ ha due valori....uno è $3π/4$ e l'altro $5π/4$...ma noi sapendo che stiamo nel III quadrante scegliamo il secondo...però non so come dir questo nella definizione....

[orazioster]

-la definizione è giusta (che io sappia!): è
che il prodotto scalare è commutativo_ quindi
non ha senso dire che stia prendendo l'angolo "da" uno dei vettori "a" l'altro. Secondo
quale orientamento poi?


Essendo definito sull'arcocoseno, l'angolo
tra due vettori va allora da $0$ a $\pi$.

[ciampax]

@melli: è come dice orazioster. Prova a disegnare i vettori che ti ho detto e ti accorgerai che, se fissi $v$ e arrivi fino a $w_2$ allora l'angolo deve essere di $\theta_2={5\pi}/4$. Tuttavia tale angolo è indipendente dall'ordine in cui scegli i vettori (per la commutatività del prodotto scalare) per cui, dovendolo definire come valore "geometrico" esso coincide con l'angolo più piccolo che i due vettori formano e cioè con $\theta_2={3\pi}/4$. la mia domanda era volta a capire se tu avessi compreso quale fosse l'angolo geometrico da considerare: come vedi usando la definizione di arcocoseno e tutti i suoi valori, tale angolo viene definito in modo univoco (in quanto se prendi due vettori essi formeranno sempre tra loro due angoli, $\theta$ e $2\pi-\theta$ e l'arcoseno ti permette di scegliere quello dei due più piccolo).

[melli13]

Si si...ora mi avete chiarito le idee....grazie!