Angolo compreso tra retta-piano

[Vicia]

Ho un dubbio su come procedere nell'ultimo punto di quest'esercizio: "Nello spazio affine euclideo di dimensione 3 in cui è fissato un riferimento ortonormale, verificare che il piano $σ$ di equazione $x − z + 1 = 0$ e la retta r di equazioni parametriche $\{(x = 1 − \lambda),(y = \lambda),(z = 0):}$ sono incidentie trovare il punto di intersezione. Determinare le rette di $σ$ che intersecando r formano con essa un angolo di $\pi/3$.Per quanto riguarda la verifica e il punto di incidenza tutto a posto e risolto: piano e retta incidono in $P(-1,2,0)$ . Il dubbio riguarda la parte finale. Io so che il coseno dell'angolo(convesso) compreso tra una retta e piano è: $ cos(\hat{v_\sigma v_r}))= (v_\sigma * v_r)/(|v_\sigma|*|v_r|)$
Però il testo dice "determinare le rette di $\sigma$ che intersecano r e formano angolo di $\pi/3$ " , il mio dubbio sta nella scelta dei vettori direzione. In teoria conosco sia il vettore del piano che della retta. Che devo fare? Devo scegliere un vettore generico di una retta $v_s(l,m,n)$ e imporre che sia ortogonale al vettore del piano e poi trovare una relazione per $l,m,n$ tramite il coseno dell'angolo compreso tra retta e piano?
Spero di essermi spiegata.
Grazie in anticipo

[sandroroma]

La generìca retta $p$, passante per $P(-1,2,0)$, ha equazioni:
(A) \begin{cases} x=-1+\lambda t\\y=2+\mu t\\ z=\nu t \end{cases}
Imponendo l'appartenenza di questa retta al piano $ x-z+1=0$ si ha:
$ -1+\lambda t -\nu t+1=0$ da cui si trae la condizione:$\lambda=\nu$
Ne segue che le equazioni della retta $p$ sono:
(B) \begin{cases} x=-1+\lambda t\\y=2+\mu t\\ z=\lambda t \end{cases}
Pertanto il vettore direzionale della retta $p$ é $(\lambda,\mu,\lambda)$
mentre il vettore direzionale della retta $r$ assegnata è $(-1,1,0)$
Applichiamo ora alle rette $p$ ed $r$ la formula del coseno dell'angolo tra
due rette ed abbiamo:
$1/2=\frac{-\lambda+\mu}{\sqrt{2}*\sqrt{2\lambda^2+\mu^2}}$
Risolta questa equazione si hanno 2 soluzioni:
$\mu=0$ e $\mu=4\lambda$

Sostituendo il primo valore nelle (B) si ha una prima soluzione rappresentata dalla retta:
\begin{cases} x=-1+\lambda t\\y=2\\ z=\lambda t \end{cases}
Eliminando il parametro $t$ si ha la retta :
\begin{cases} y=2\\ x-z+1=0 \end{cases}

Sostituendo il secondo valore nelle (B) si ha una seconda soluzione rappresentata dalla retta:
\begin{cases} x=-1+\lambda t\\y=2+4\lambda t\\ z=\lambda t \end{cases}
Eliminando il parametro $t$ si ha la retta :
\begin{cases} x-z+1=0\\ y-4z-2=0 \end{cases}

[Vicia]

Perfetto i risultati a cui sono giunta io combaciano con i tuoi, grazie