Ancora verifiche di ragionamento... esercizio su autovalori.
Salve. Torno a fare domande di un certo tipo, perche' questa comunita' e' il miglior modo che ho trovato di "farsi spiegare" le cose... e quindi ringrazio, ancora, anticipatamente.
Passiamo al problema: mi viene chiesto di trovare una matrice $A in RR3,3$ avente autospazi $ {x in RR3 : 2x1-2x2+x3=0} , ((2),(-2),(1)) $ tale che $A^2 = A$.
Primo dubbio: per come sono scritti i due autospazi, sono uno il trasposto dell'altro? Posso trattarli come se avessero gli stessi valori?
Ora... il mio ragionamento e' il seguente. Le condizioni imposte sono due: Primo, che $(A-lambda I)) * ((2),(-2),(1))$ faccia $0$; secondo, che $A*A = A$.
La seconda condizione e' molto piu' stringente della prima, il che mi permette gia' di dire che solo la matrice nulla e la matrice identica possano andare bene... ma eseguo i calcoli per confermarlo. In qualsiasi caso pongo $a12 = a13 = a21 = a23 = a31 = a32 = 0$, ed inizio a risolvere a ritroso:
$(((a11,0,0),(0,a22,0),(0,0,a33)) - lambda*((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) ) * ((2),(-2),(1)) = 0$
Trovo che con $lambda = 1$, una matrice $A=I$ soddisfa tutte le condizioni poste, ed altrettanto una matrice $A=0$, con $lambda=0$.
Mi sembra "troppo conveniente", che finisca cosi': dov'e' che ho sbagliato?
Passiamo al problema: mi viene chiesto di trovare una matrice $A in RR3,3$ avente autospazi $ {x in RR3 : 2x1-2x2+x3=0} , ((2),(-2),(1)) $ tale che $A^2 = A$.
Primo dubbio: per come sono scritti i due autospazi, sono uno il trasposto dell'altro? Posso trattarli come se avessero gli stessi valori?
Ora... il mio ragionamento e' il seguente. Le condizioni imposte sono due: Primo, che $(A-lambda I)) * ((2),(-2),(1))$ faccia $0$; secondo, che $A*A = A$.
La seconda condizione e' molto piu' stringente della prima, il che mi permette gia' di dire che solo la matrice nulla e la matrice identica possano andare bene... ma eseguo i calcoli per confermarlo. In qualsiasi caso pongo $a12 = a13 = a21 = a23 = a31 = a32 = 0$, ed inizio a risolvere a ritroso:
$(((a11,0,0),(0,a22,0),(0,0,a33)) - lambda*((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) ) * ((2),(-2),(1)) = 0$
Trovo che con $lambda = 1$, una matrice $A=I$ soddisfa tutte le condizioni poste, ed altrettanto una matrice $A=0$, con $lambda=0$.
Mi sembra "troppo conveniente", che finisca cosi': dov'e' che ho sbagliato?
Risposte
"ClarkSt":
Salve. Torno a fare domande di un certo tipo, perche' questa comunita' e' il miglior modo che ho trovato di "farsi spiegare" le cose... e quindi ringrazio, ancora, anticipatamente.
Passiamo al problema: mi viene chiesto di trovare una matrice $A in RR3,3$ avente autospazi $ {x in RR3 : 2x1-2x2+x3=0} , ((2),(-2),(1)) $ tale che $A^2 = A$.
Primo dubbio: per come sono scritti i due autospazi, sono uno il trasposto dell'altro? Posso trattarli come se avessero gli stessi valori?
Ma quali sarebbero i 2 autospazi?
Forse il primo è ${x in RR3 : 2x1-2x2+x3=0}$
e il secondo è lo spazio generato da $((2),(-2),(1)) $?
Ho commesso un errore nel digitare... $<((2),(-2),(1))>$ e' quel che ci dovrebbe essere scritto
Ma come puoi allora dire che hanno gli stessi valori dal momento che il primo spazio ha dimensione 2 e il secondo ha dimensione1??
Perche' l'ho sparata grossa... o meglio, anche nei calcoli che avevo fatto, non avevo messo le $< >$. (ecco anche perche' la cosa mi tornava un po' strana...)
Chiedo venia. Sto rifacendo i calcoli.
Chiedo venia. Sto rifacendo i calcoli.
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