Ancora rette sghembe e perp comune

[Dymios]

Ciao a tutti,
ho fatto questo esercizio...ma nn mi trovi in alcuni punti. Spero qualcuno possa darmi una mano:

Determinare equazioni cartesiane della retta di minima distanza delle due rette sghembe
$r1: x=0, y=0$ e $r2: x=z-1, y=z-1$.

La retta da trovare è la perpendicolare comune tra r1 e r2, giusto?

- Verifico che r1 e r2 sono sghembe:
$[(1,0,0,0),(0,1,0,0),(1,0,-1,1),(0,1,-1,1)]=0$
pertanto r1 e r2 sono sghembe;

- Un punto generico Px di r1 è $Px(0, 0, k)$
- Un punto generico Py di r2 è $Py(h-1, h-1, h)$
- I parametri direttori della retta passante per Px e Py sono pertanto:
$(h-1, h-1, h-k)$

- Per avere la retta PxPy perpendicolare sia ad r1 che r2 devono verificarsi:

$[(h - k = 0), (h - 1 + h - 1 + h - k = 0)]$

da cui: $h = 1, k = 1$

==> Ma allora la retta cercata ha parametri direttori $(0, 0, 0)$ ??? è possibile?

E come trovo le equazioni cartesiane?? Dove sbaglio??
Grazie
Ciao
Dymios

[Sk_Anonymous]

Posso sbagliare ma a me il problema sembra indeterminato.
Infatti le due rette non sono sghembe ma incidono nel punto
(0,0,1) e dunque tutte le rette passanti per esso risolvono il problema
(la minima distanza e' ovviamente 0)
karl

[Dymios]

Infatti ho controllato poco fa e mi sono accorto di aver fatto un errore:

$[(1,0,0,0),(0,1,0,0),(1,0,-1,0),(0,1,-1,1)]=0$ perciò le rette sono incidenti...e complanari.

Il libro trova ugualmente una retta perpendicolare ad entrambi le rette.
Per ricavarla, ho trovato prima l'equazione del piano contenente le due rette ($p: x - y = 0$), poi ho scritto l'equazione della retta passante per il punto di intersezione $A(0,0,1)$ e parallela al vettore perpendicolare al piano $v(1,-1,0)$.

retta cercata: $t:[(x+y=0),(z-1=0)]$

Grazie ugualmente per la risposta.
Ma quindi il procedimento che ho descritto io funziona solamente per due rette sghembe?
Grazie ancora.
Ciao
Dymios

[Sk_Anonymous]

Il problema per come e' stato enunciato da te e' mal posto.
A meno che non si chiedesse proprio la retta passante per il punto comune
alle due rette e perpendicolare al piano che le contiene.
Ma questo sarebbe un altro problema.
Ogni altra retta passante per tale punto ha distanza minima dalle rette indicate.
karl

[Dymios]

Io ho ricopiato la traccia dal libro. Il problema è proprio questo: il libro dice che le rette sono sghembe invece non lo sono.
Sarà un errore tipografico. Ho visto che diceva sghembe quindi ho capito che dovevo trovare la perpendicolare comune.
In realtà hai ragione tu, ogni retta per quel punto andrebbe bene. Il libro comunque trova la perpendicolare, questo proprio perchè c'è l'errore che ho detto sopra e usa un procedimento diverso dal mio.
Grazie comunque!
Ciao
Dymios