Ancora algebra..

[Fabry_Shock]

Ciao a tutti.
Pochi giorni fa' ho fatto un parziale di matematica/algebra e purtroppo e' andato male [xx(]

tra gli esercizi che ho sbagliato c' era questo:

Data la seguente applicazione lineare:

T:R^3----->R^3
(x,y,z)----->(x+6y+z, 6x-6y+z, 6x+7y+z)

a) Si calcoli una base per il nucleo e una per l' immagine
b) si verifichi che il teorema della dimensione e' soddisfatto

Per trovare il nucleo, metto a sistema le tre equazioni, ponendole uguale a zero e... non riesco a risolverlo.. come devo fare?
Una volta trovata una soluzione al sistema
x = ...
y = ...
z = ...
come faccio a trovare una base?

grazie a tutti quelli che sapranno rispondermi1

[Camillo]

Devi risolvere il sistema omogeneo:
x+6y+z = 0
6x-6y+z =0
6x+7y+z = 0
Il determinante dei coefficienti è diverso da zero( il rango della matrice dei coefficienti è : 3) .
Quindi un sistema di tre equazioni in tre incognite con determinante dei coefficienti diverso da zero avrà una e una sola soluzione; ma il sistema è omogeneo e quindi avrà la soluzione nulla , che è anche unica .
Conclusione Nucleo(KER) = vettore nullo= (0,0,0) che ha dimensione 0.

Essendo le tre colonne della matrice dei coefficienti linearmente indipendenti esse generano tutto R^3.
Quindi IM T = R^3 e
di conseguenza : DIM (IM T)= 3 .
Verifica del teorema delle dimensioni :
DIM R^3 = DIM (KER T)+ DIM (IM T), INFATTI :
3 = 0 + 3.
Per trovare una base di IM T , ricordando che IM T = R ^3
potrei scegliere la base canonica :
e1= ( 1,0,0) ; e2=(0,1,0) ; e3=(0,0,1)
oppure da : (x+6y+z,6x-6y+z,6x+7y+z) porre :
* x=1, y=z= 0 ottenendo 1,6,6)
* x=z=0,y=1 ottenendo: (6,-6,7)
* x=y=0, z=1 ottenendo: (1,1,1) e quindi una base è anche :

(1,6,6) ; (6,-6,7) ; (1,1,1) .
Camillo

[Fabry_Shock]

Grazie Camillo, penso di avere capito (incredibile!!! [:D] )