$A\mathbf{x}\notin\text{ker}A$

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo sullo Strang, Algebra lineare, es. 20 p. 252 dell'edizione Apogeo, un esercizio su una generica matrice $A$ che ha i tre autovalori 0, 3 e 5 associati agli autovettori indipendenti $\mathbf{u},\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$. Il libro chiede di mostrare che $A\mathbf{x}=\mathbf{u}$ non ha soluzione.
Questo mi sarebbe chiaro se $A$ fosse simmetrica perché dato che l'autovalore associato a $\mathbf{u}$ è 0 ovviamente sia ha che $\mathbf{u}\in"ker"A$ e lo spazio colonna sarebbe \(C(A^\text{T})\perp\text{ker}A\), quindi se \( \exists\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3: A^\text{T}\mathbf{x}=\mathbf{u}\in\text{ker}A \Rightarrow \mathbf{u}·\mathbf{u}=0\) contro l'ipotesi che $\mathbf{u}$ sia un autovettore, diverso per definizione da $\mathbf{0}$.
Invece, se $A\ne A^\text{T}$ non capisco perché $A\mathbf{x}=\mathbf{u}$ non ha soluzione... Qualcuno sarebbe così gentile da fornirmi un qualche suggerimento?
Grazie di cuore!!!

[Sk_Anonymous]

Ciao Davide:

$[vecx=c_u*vecu+c_v*vecv+c_w*vecw] rarr [A(vecx)=3*c_v*vecv+5*c_w*vecw]$

$[A(vecx)=vecu] rarr [3*c_v*vecv+5*c_w*vecw=vecu]$

manifestamente impossibile.

[DavideGenova1]

Grazie di cuore, speculor!!! Già, i tre autovettori sono una base di $RR^3$...