Altro esercizio sulla circonferenza nello spazio
Nello spazio si considerino le rette r ed s di equazioni r:2x-z=y-1=0, s: x+2=y-z=0. Si determinino le equazioni della circonferenza tangente in A(0,1,0) ad r ed avente centro su s.
Allora l'idea che mi è venuta per svolgere l'esercizio è questa(qualcuno mi corregga se ho sbagliato) la nostra cinrconferenza la possiamo vedere come intersezione di un piano e di una sfera.
Come piano ho scelto quello ortogonale ad r e passante per A.
Per determinarlo ho fatto così ho preso un vettore direttore di r, v=(1,0,2) e quindi il piano avrà equazione x+2z+k=0 per determinare k ho posto che il piano passi per A e quindi k=0, in definitiva il piano ha equazione x+z=0.
è giusto questo ragionamento che ho fatto, oppure è sbagliato? come faccio a determinare la sfera in modo tale da avere la circonferenza? (sempre consideranto che il mio procedimento sia corretto)
il centro della sfera avrà coordinate (-2,t,t) dato che sta sulla retta s, quindi tutto sta nel trovare le coordinate del centro;
spero che qualcuno risponda a questo mio dilemma
ciao a tutti
Allora l'idea che mi è venuta per svolgere l'esercizio è questa(qualcuno mi corregga se ho sbagliato) la nostra cinrconferenza la possiamo vedere come intersezione di un piano e di una sfera.
Come piano ho scelto quello ortogonale ad r e passante per A.
Per determinarlo ho fatto così ho preso un vettore direttore di r, v=(1,0,2) e quindi il piano avrà equazione x+2z+k=0 per determinare k ho posto che il piano passi per A e quindi k=0, in definitiva il piano ha equazione x+z=0.
è giusto questo ragionamento che ho fatto, oppure è sbagliato? come faccio a determinare la sfera in modo tale da avere la circonferenza? (sempre consideranto che il mio procedimento sia corretto)
il centro della sfera avrà coordinate (-2,t,t) dato che sta sulla retta s, quindi tutto sta nel trovare le coordinate del centro;
spero che qualcuno risponda a questo mio dilemma
ciao a tutti
Risposte
la retta r può essere tangente alla sfera e non alla circonferenza. [N.B.: non ho controllato i conti].
il piano che tu hai trovato ti serve per individuare il centro C (se messo a sistema con s). a quel punto il piano della circonferenza è quello individuato da r e da C. si tratta solo di scrivere l'equazione della circonferenza, su questo piano, di centro C e raggio CA.
è chiaro? ciao.
il piano che tu hai trovato ti serve per individuare il centro C (se messo a sistema con s). a quel punto il piano della circonferenza è quello individuato da r e da C. si tratta solo di scrivere l'equazione della circonferenza, su questo piano, di centro C e raggio CA.
è chiaro? ciao.
"adaBTTLS":
la retta r può essere tangente alla sfera e non alla circonferenza. [N.B.: non ho controllato i conti].
il piano che tu hai trovato ti serve per individuare il centro C (se messo a sistema con s). a quel punto il piano della circonferenza è quello individuato da r e da C. si tratta solo di scrivere l'equazione della circonferenza, su questo piano, di centro C e raggio CA.
è chiaro? ciao.
scusa ma la traccia dice che la retta r è tangente alla circonferenza nel punto A perchè dici di no?
io non dico di no.
mi riferivo al fatto che se tu trovi una sfera per cui r risulta tangente, non è banale individuare a quale circonferenza è tangente la retta (a partire dalla sfera).
se tu prendi il piano passante per A e perpendicolare ad r, di sicuro non individui il piano tangente, però è ancora più importante trovare quel piano perché passa per il centro.
hai capito qual era l'obiezione? rileggiti il percorso e fammi sapere. ciao.
mi riferivo al fatto che se tu trovi una sfera per cui r risulta tangente, non è banale individuare a quale circonferenza è tangente la retta (a partire dalla sfera).
se tu prendi il piano passante per A e perpendicolare ad r, di sicuro non individui il piano tangente, però è ancora più importante trovare quel piano perché passa per il centro.
hai capito qual era l'obiezione? rileggiti il percorso e fammi sapere. ciao.
ok ho capito la tua obiezione, ma per quale motivo il piano che ho trovato x+z=0, passa per il centro? da dove si capisce?
perché r è tangente nel punto A: il raggio è perpendicolare ad r in A. quindi la retta che contiene il raggio passante per A deve essere contenuta nel piano in questione. OK? ciao.
"adaBTTLS":
perché r è tangente nel punto A: il raggio è perpendicolare ad r in A. quindi la retta che contiene il raggio passante per A deve essere contenuta nel piano in questione. OK? ciao.
in queste questioni geometriche, purtroppo non sono molto pratico
, non riuscivo a caprli neanche con i disegnini alla lavagnacmq sia a sto punto abbiamo le coordinate del centro che sono (-2,2,2), dopodichè è facile trovare il raggio della sfera, poi il piano da intersecare con la sfera è quello perpendicolare a r e passante per C
è così o mi sbaglio?
no perpendicolare a r.... è tangente! il piano perpendicolare a r passante per C è quello che hai già trovato. il piano che devi trovare contiene r.
il piano è quello individuato da r e da C.
ci sei? fai qualche altro calcolo e fammi sapere. ciao.
il piano è quello individuato da r e da C.
ci sei? fai qualche altro calcolo e fammi sapere. ciao.
cioè il piano che devo trovare è il piano contenente r e passante per C?
questo piano mi esce 2x+6y-z-6=0 è questo il piano?
questo piano mi esce 2x+6y-z-6=0 è questo il piano?
che ne sai che è perpendicolare ad s? sai che passa per r...
se sai come trovare un piano perpendicolare, saprai anche come trovare un piano parallelo, un piano passante per tre punti... le condizioni che hai sono le coordinate di un punto (C) e la retta r (se sai come trovare il piano passante per tre punti puoi anche considerare le coordinate di A e di un altro punto su r, scelto da te, basta che sia distinto da A). che formule usi normalmente?
se sai come trovare un piano perpendicolare, saprai anche come trovare un piano parallelo, un piano passante per tre punti... le condizioni che hai sono le coordinate di un punto (C) e la retta r (se sai come trovare il piano passante per tre punti puoi anche considerare le coordinate di A e di un altro punto su r, scelto da te, basta che sia distinto da A). che formule usi normalmente?
quindi mi devo trovare il piano passante per tre punti A(0,1,0), C(-2,2,2), B(-2,1,1) dove B è un qualsiasi punto di r?
e il piano che mi sono trovato io invece con quell'altro metodo non va bene?
e il piano che mi sono trovato io invece con quell'altro metodo non va bene?
"serway":
cioè il piano che devo trovare è il piano contenente r e passante per C?
questo piano mi esce 2x+6y-z-6=0 è questo il piano?
se il piano che hai trovato è quello contenente r e C, va bene.
prima però avevi parlato di piano perpendicolare. (quello doveva essere lo stesso che avevi già trovato).
puoi fare una verifica incrociata, quindi vedi pure se i conti sono esatti.
se B è un punto di r, va bene anche questo procedimento, e dovresti ottenere lo stesso piano.
ciao.
si lo so prima ho scritto una c.....a per questo ho eliminato la risposta e ne ho scritto subito un'altra cmq si quello è il piano contenente r e passante per C
grazie dell'aiuto sei stato molto gentile ad aiutarmi a risentirci ciao
grazie dell'aiuto sei stato molto gentile ad aiutarmi a risentirci ciao
prego. l'equazione della circonferenza l'hai trovata? ciao.
"serway":
Nello spazio si considerino le rette r ed s di equazioni r:2x-z=y-1=0, s: x+2=y-z=0. Si determinino le equazioni della circonferenza tangente in A(0,1,0) ad r ed avente centro su s.
Il centro della circonferenza deve stare sul piano $\pi$ passante per $A$ e perpendicolare alla retta $r$.
Facendo i conti si trova l'equazione di $pi$:
$x+2z=0$
Basta poi intersecare questo piano con la retta $s$;
risolvendo il sistema lineare
$\{ (x+2z=0),(x+2=0),(y-z=0) :}$
si trova che il centro è il punto $C = (-2;1;1)$.
Il piano sul quale giace la circonferenza è dato dalle equazioni parametriche
$((x),(y),(z)) = ((0),(1),(0)) + \lambda ((1),(0),(2)) + \mu ((-2-0),(1-1),(1-0)) = ((0),(1),(0)) + \lambda ((1),(0),(2)) + \mu ((-2),(0),(1)) $
cioè, in equazione implicita:
$y=1$
In definitiva l'equazione della circonferenza è
$\{ ((x+2)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 5),(y=1) :}$
"franced":
In definitiva l'equazione della circonferenza è
$\{ ((x+2)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 5),(y=1) :}$
che possiamo semplificare in questo modo:
$\{ ((x+2)^2 + (z-1)^2 = 5),(y=1) :}$
(è l'intersezione tra un cilindro e un piano).
"franced":
[quote="franced"]
In definitiva l'equazione della circonferenza è
$\{ ((x+2)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 5),(y=1) :}$
che possiamo semplificare in questo modo:
$\{ ((x+2)^2 + (z-1)^2 = 5),(y=1) :}$
(è l'intersezione tra un cilindro e un piano).[/quote]
E' possibile fornire anche l'equazione parametrica:
$((x),(),(),(),(),(),(),(y),(),(),(),(),(),(),(z)) = ((-2 + sqrt(5) cos theta),(),(),(),(),(),(),(1),(),(),(),(),(),(),(1 + sqrt(5) sin theta))$
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