Altro esercizio algebra lineare
Sia $V = RR_3$ e sia W=$Span(2+x, x^2 + x^3 , 1 + x^3)$
Costruire una applicazione lineare f: V --> $RR^4$ tale che:
$f(V) subset W$ = ${(x,y,z,t) in RR^4 t.c x+y = 0; x+y+z-t = 0}$
$dim Imf = 3$
Costruire una applicazione lineare f: V --> $RR^4$ tale che:
$f(V) subset W$ = ${(x,y,z,t) in RR^4 t.c x+y = 0; x+y+z-t = 0}$
$dim Imf = 3$
Risposte
$W={((x),(y),(z),(t))\in RR^4 | x+y=0; x+y+z-t=0}
vediamo di scriverlo come combinazione di due vettori.
${(x+y=0),(x+y+z-t=0):}=>{(x=-y),(z=t):}=>W=((x),(-x),(t),(t))=((1),(-1),(0),(0))x+((0),(0),(1),(1))t=>W=span{((1),(-1),(0),(0)),((0),(0),(1),(1))}
chiamiamo questi due vettori rispettivamente ${k_1,k_2}$
come puoi vedere si tratta di un sottospazio vettoriale di dimensione 2. quindi sai già che f sarà sicuramente non iniettiva, cioè avrà il nucleo non banale.
ora per costruire l'applicazione ragiona sui vettori che generano il tuo spazio di partenza $V=span{2+x,x^2+x^3,1+x^3}$ come puoi vedere la $dimV=3$ in quanto sono tutti vettori indipendenti.se questi generatori li chiami ${p_1,p_2,p_3}$ la funzione che cerchi la puoi definire nel seguente modo:
$f(p_1)=k_1
$f(p_2)=k_2
$f(p_3)=0
(per facilitarti nei conti, se usi le matrici, puoi prima mandare V nella base canonica {x,x^2,x^3} - e quindi fai un cambio di coordinate - e dallo spazio con la base canonica usi le condizioni di mandare due vettori nei due vettori generatori di W e uno che stia nel ker f).
vediamo di scriverlo come combinazione di due vettori.
${(x+y=0),(x+y+z-t=0):}=>{(x=-y),(z=t):}=>W=((x),(-x),(t),(t))=((1),(-1),(0),(0))x+((0),(0),(1),(1))t=>W=span{((1),(-1),(0),(0)),((0),(0),(1),(1))}
chiamiamo questi due vettori rispettivamente ${k_1,k_2}$
come puoi vedere si tratta di un sottospazio vettoriale di dimensione 2. quindi sai già che f sarà sicuramente non iniettiva, cioè avrà il nucleo non banale.
ora per costruire l'applicazione ragiona sui vettori che generano il tuo spazio di partenza $V=span{2+x,x^2+x^3,1+x^3}$ come puoi vedere la $dimV=3$ in quanto sono tutti vettori indipendenti.se questi generatori li chiami ${p_1,p_2,p_3}$ la funzione che cerchi la puoi definire nel seguente modo:
$f(p_1)=k_1
$f(p_2)=k_2
$f(p_3)=0
(per facilitarti nei conti, se usi le matrici, puoi prima mandare V nella base canonica {x,x^2,x^3} - e quindi fai un cambio di coordinate - e dallo spazio con la base canonica usi le condizioni di mandare due vettori nei due vettori generatori di W e uno che stia nel ker f).
Grazie mille! a scuola non abbiamo ancora definito un modo di procedere per costruire funzioni, ma siccome ho un compitino tra un paio di settimane, stavo provando a fare qualche esercizio già dato nei compitini scorsi... comunque in pratica per definire una funzione si lavora sulle basi degli insiemi di partenza e di arrivo cercando le condizioni volute?
si, per costruire le applicazioni lineari devi sempre basarti sui vettori generatori. Nota in questo caso, visto che $f(V)\sub W$ potevi mandare due vettori nello spazio nullo e tenerne solo uno che andava in una qualsiasi combinazione dei due vettori (o anche in uno di essi e basta). I calcoli venivano ancora più semplificati.
Ma mandando due vettori nello spazio nullo, non si ottiene dim Ker f = 2 quindi dim imf = 2?
Per costruire o per dimostrare l'esistenza o l'unicità delle applicazioni lineari si usa di solito il TEOREMA FONDAMENTALE DELLE APPLICAZIONI LINEARI che dice:
Sia $\mathbbK$ un campo e siano $V$ e $W$ spazi vettoriali sul campo $mathbbK$. Siano $v_1,...,v_n in V$ vettori tali che ${v_1,...,v_n}$ è una base di $V$. E siano $w_1,...,w_n in W$ vettori qualunque. Allora esiste una e una sola applicazione lineare $f : V -> W$ tale che $forall i = 1,...,n \ f(v_i)=w_i$.
Inoltre l'applicazione è iniettiva se e solo se $w_1,...,w_n$ sono linearmente indipendenti.
L'applicazione è surgettiva se e solo se $w_1,...,w_n$ generano $W$.
Sia $\mathbbK$ un campo e siano $V$ e $W$ spazi vettoriali sul campo $mathbbK$. Siano $v_1,...,v_n in V$ vettori tali che ${v_1,...,v_n}$ è una base di $V$. E siano $w_1,...,w_n in W$ vettori qualunque. Allora esiste una e una sola applicazione lineare $f : V -> W$ tale che $forall i = 1,...,n \ f(v_i)=w_i$.
Inoltre l'applicazione è iniettiva se e solo se $w_1,...,w_n$ sono linearmente indipendenti.
L'applicazione è surgettiva se e solo se $w_1,...,w_n$ generano $W$.
no, essendo che l'unico vettore che non sta nel ker va in un vettore di $RR^4$ e quindi genera un sottospazio di dimensione 1. Ricorta che la dimensione dell'immagine e la dimensione del ker non possono superare la dimensione dello spazio di partenza e questi due spazi non possono avere intersezione non banale...
Non ci sto capendo proprio più niente... allora il mio spazio di partenza ha dimensione 3, quello di arrivo ha dimensione 2. Devo costruire una applicazione tale che immagine di f abbia dimensione 3, ma non è possibile!
ehm non avevo letto l'ultima riga ... perdono... tutto il mio ragionamento è stato sul creare un'applicazione in W e basta. Quindi una mano te l'ha data 
però visto che lo sottospazio di arrivo ha dimensione 2, non puoi trovare un'applicazione che abbia immagine più grande di due. Quindi l'applicazione crecata è inesistente. la risposta l'hai trovata da solo ...
comuque per una cosa generale, la risposta di NightKnight è chiarissima. Infatti siano $w_1,w_2,w_3\inW$ e $v_1,v_2,v_3$ tre vettori l.i. in V; senza perdita di generalità possiamo suppore che questi tre siano esattamente la tua base di V.
Supponiamo che quei tre vettori di W siano tali che
$w_j=f(v_j)$ e supponiamo p.a. che $dim (imf)=3$ questo vuol dire che ${f(v_1),f(v_2),f(v_3)}$ sono una base per l'immagine. Quindi $w_1,w_2,w_3$ sono l.i. in W, ma questo è assurdo in quanto $dimW=2$ e quindi ha due soli vettori generatori. Quindi f che fa questo servizio non esiste.
però visto che lo sottospazio di arrivo ha dimensione 2, non puoi trovare un'applicazione che abbia immagine più grande di due. Quindi l'applicazione crecata è inesistente. la risposta l'hai trovata da solo ...comuque per una cosa generale, la risposta di NightKnight è chiarissima. Infatti siano $w_1,w_2,w_3\inW$ e $v_1,v_2,v_3$ tre vettori l.i. in V; senza perdita di generalità possiamo suppore che questi tre siano esattamente la tua base di V.
Supponiamo che quei tre vettori di W siano tali che
$w_j=f(v_j)$ e supponiamo p.a. che $dim (imf)=3$ questo vuol dire che ${f(v_1),f(v_2),f(v_3)}$ sono una base per l'immagine. Quindi $w_1,w_2,w_3$ sono l.i. in W, ma questo è assurdo in quanto $dimW=2$ e quindi ha due soli vettori generatori. Quindi f che fa questo servizio non esiste.
ah ecco! grazie mille... ehm... ora però ti farò molto arrabbiare...mi sono accorto di un errore nell'esercizio che ho postato 
in realtà era:
Sia $V=ℝ_3$ e sia $W=Span(2+x,x^2+x^3,1+x^3)$
Costruire una applicazione lineare $f: V --> ℝ^4$ tale che:
$f(W)⊂ {(x,y,z,t)∈ℝ^4 t.c x+y=0; x+y+z-t=0}$ <--- ecco l'errore... sbagliato a copiare
dimImf=3
Comunque il ragionamento credo sia analogo... dunque ho V che ha dimensione 4 e arrivo in dimensione 4. Però ora non saprei come ragionare per $f(W)$. Prendo la base canonica dei vettori di $RR_3$ e poi?
in realtà era:
Sia $V=ℝ_3$ e sia $W=Span(2+x,x^2+x^3,1+x^3)$
Costruire una applicazione lineare $f: V --> ℝ^4$ tale che:
$f(W)⊂ {(x,y,z,t)∈ℝ^4 t.c x+y=0; x+y+z-t=0}$ <--- ecco l'errore... sbagliato a copiare
dimImf=3
Comunque il ragionamento credo sia analogo... dunque ho V che ha dimensione 4 e arrivo in dimensione 4. Però ora non saprei come ragionare per $f(W)$. Prendo la base canonica dei vettori di $RR_3$ e poi?
"Zkeggia":
ah ecco! grazie mille... ehm... ora però ti farò molto arrabbiare...mi sono accorto di un errore nell'esercizio che ho postato
in realtà era:
Sia $V=ℝ_3$ e sia $W=Span(2+x,x^2+x^3,1+x^3)$
Costruire una applicazione lineare $f: V --> ℝ^4$ tale che:
$f(W)⊂ {(x,y,z,t)∈ℝ^4 t.c x+y=0; x+y+z-t=0}$ <--- ecco l'errore... sbagliato a copiare
dimImf=3
Comunque il ragionamento credo sia analogo... dunque ho V che ha dimensione 4 e arrivo in dimensione 4. Però ora non saprei come ragionare per $f(W)$. Prendo la base canonica dei vettori di $RR_3$ e poi?
no calma ${(x,y,z,t)∈ℝ^4 t.c x+y=0; x+y+z-t=0}$ è esattamente l'insieme di prima. Questo è un sottospazio vettoriale di $RR^4$ di dimensione 2.
V ha dimensione 3 non quattro (visto che hai scritto che $V=RR^3$ e W idem... scusa ma hai ricopiato l'esercizio in maniera identica... ??
edit: ho modificato aggiungendo 2 righe la risposta prima di questa
V ha dimensione 3 non quattro (visto che hai scritto che V=ℝ3
no V è l'insieme dei polinomi di grado uguale o inferiore a 3, quindi ha dimensione 4. Il mio errore è stato qui:
f(W)⊂{(x,y,z,t)∈ℝ4t.cx+y=0;x+y+z-t=0} <--- ecco l'errore... sbagliato a copiare
in quanto prima non avevo scritto così, ma avevo scritto:
[/quote]
$f(V) subset W$ = ${(x,y,z,t) in RR^4 t.c x+y = 0; x+y+z-t = 0}$
$V=RR_3[x]$ ok, c'era una parentesi per me essenziale che non c'era
prima cosa che devi chiederti: $W$ che dimensione ha? lo spazio di arrivo che dimensione ha?... lo spazio di arrivo massimo (cioè lo s.v. in cui deve stare l'immagine) ha dimensione due, come visto prima. Quindi anche in questo caso l'applicazione non si può trovare.
Per trovarla dovresti trovare un sottospazio vettoriale di $RR^4$ di dimensione 3, ma visto che l'esercizio ti pone la condizione che deve finiere in uno s.v. di dim=2....
chiaro?
prima cosa che devi chiederti: $W$ che dimensione ha? lo spazio di arrivo che dimensione ha?... lo spazio di arrivo massimo (cioè lo s.v. in cui deve stare l'immagine) ha dimensione due, come visto prima. Quindi anche in questo caso l'applicazione non si può trovare.
Per trovarla dovresti trovare un sottospazio vettoriale di $RR^4$ di dimensione 3, ma visto che l'esercizio ti pone la condizione che deve finiere in uno s.v. di dim=2....
chiaro?
mmh ma magari mi chiede una funzione da V di dimensione 4 in $RR^4$ di dimensione 4 tale che quando uso un elemento w appartenente a W rimango nel sottoinsieme di $RR^4$ tale che $x +y= 0; x + y+ z - t= 0$ e quindi è possibile, no?
ripeto: se $dimImf=3$ come da richiesta, vuol dire che $f:W->RR^4$ è tale per cui, se $v_1,v_2,v_3$ sono i generatori del sottospazio W detto prima (che è composto dalla composizione di tre polinomi) allora ${f(v_1),f(v_2),f(v_3)}$ sono una base per l'immagine di f. Fino a qua ci sei?
BENE, ora sia $\Omega={(x,y,z,t)|x+y=0;x+y+z-t=0}=>\Omega=span{((1),(-1),(0),(0)),((0),(0),(1),(1))}=>dim\Omega=2$
quindi devono esistere $f(v_1),f(v_2),f(v_3)\in\Omega$ (perchè è così che ti chiede) l.i., il che è assurdo. QUindi con questa ipotesi f non esiste.
Se la dimImf può essere qualunque (0,1,2) allora vedi il ragionamento della priam risposta.
Più chiaro ora?
BENE, ora sia $\Omega={(x,y,z,t)|x+y=0;x+y+z-t=0}=>\Omega=span{((1),(-1),(0),(0)),((0),(0),(1),(1))}=>dim\Omega=2$
quindi devono esistere $f(v_1),f(v_2),f(v_3)\in\Omega$ (perchè è così che ti chiede) l.i., il che è assurdo. QUindi con questa ipotesi f non esiste.
Se la dimImf può essere qualunque (0,1,2) allora vedi il ragionamento della priam risposta.
Più chiaro ora?
no non ci sono per niente... ma scusa se ho $f: V => RR^4$ e W è sottoinsieme di V, perchè la dimensione di f non può essere 3? I tre polinomi che generano W appartengono comunque a V, e la dimensione di W è 2, mentre quella di V è 4. Allora se prendo una applicazione che mandi:
i due vettori che generano W in $RR^4$
un altro vettore di V non appartenente a W in $RR^4$
l'ultimo vettore della base di V non dipendente dai precedenti in 0.
Ottengo che la dimensione dell'immagine di f è 3 (è data dai due vettori che soddisfano la condizione di W e il terzo che non appartiene a W) e quella del nucleo è 1.
Sbaglio vero?
i due vettori che generano W in $RR^4$
un altro vettore di V non appartenente a W in $RR^4$
l'ultimo vettore della base di V non dipendente dai precedenti in 0.
Ottengo che la dimensione dell'immagine di f è 3 (è data dai due vettori che soddisfano la condizione di W e il terzo che non appartiene a W) e quella del nucleo è 1.
Sbaglio vero?
no hai ragione, avevo letto male, ero rimasto all'esercizio scritto $f(V)\sub\Omega$ con $Omega$ l'insieme che avevo detto. Mettici un pò di stanchezza comunque si, la tua soluzione va bene, scusa se ho "cercato di mandarti fuori strada" ma non so perchè ero convinto che tutta l'immagine vivesse in $Omega$. Quindi si il tuo ragionamento va bene, spero che tutte le cose che ho detto comeunque siano servite a qualcosa...
beh diciamo più o meno ora ho una flebile speranza di capirci qualcosa... però ancora non so come fare a creare 'sta benedetta applicazione... non so proprio dove mettere le mani...
sei sicuro che W ha dimensione due?... perchè è fondamentale, se ha dimensione tre il vettore che devi lasciare nel ker lo devi prendere da W. Provami che ha dimensione 2 come dici te.
$W = {(x,y,z,t) in RR^4 t.c x+y =0; x+y+z-t=0}$
Come hai detto tu se si scrive come generatori arriviamo a definire $W = Span ((-1,1,0,0)), ((0,0,1,1))$
Come hai detto tu se si scrive come generatori arriviamo a definire $W = Span ((-1,1,0,0)), ((0,0,1,1))$
"fu^2":
[quote="Zkeggia"]
Sia $V=ℝ_3$ e sia $W=Span(2+x,x^2+x^3,1+x^3)$
Costruire una applicazione lineare $f: V --> ℝ^4$ tale che:
$f(W)⊂ {(x,y,z,t)∈ℝ^4 t.c x+y=0; x+y+z-t=0}$ <--- ecco l'errore... sbagliato a copiare
no calma ${(x,y,z,t)∈ℝ^4 t.c x+y=0; x+y+z-t=0}$ è esattamente l'insieme di prima. Questo è un sottospazio vettoriale di $RR^4$ di dimensione 2.
V ha dimensione 3 non quattro (visto che hai scritto che $V=RR^3$ e W idem... scusa ma hai ricopiato l'esercizio in maniera identica... ??
edit: ho modificato aggiungendo 2 righe la risposta prima di questa[/quote]
qua c'è qualcosa che fa si che non ci capiamo sui dati
per favore riposta i problemi... da come hai scritto qua W vive nei polinomi, non in $RR^4$. Riscrivi la consegna completamente
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