Altro esercizio algebra lineare

[Zkeggia]

Sia $V = RR_3$ e sia W=$Span(2+x, x^2 + x^3 , 1 + x^3)$

Costruire una applicazione lineare f: V --> $RR^4$ tale che:

$f(V) subset W$ = ${(x,y,z,t) in RR^4 t.c x+y = 0; x+y+z-t = 0}$

$dim Imf = 3$

[Zkeggia]

ahuahuahha... bello fraintedersi per mille mille post

Sia $ V= RR_3[x]$ e sia $W = Span (2+x, x^2 + x^3, 1+x^3)$

Costruire una applicazione lineare $f: V=>RR^4$ tale che:

1) $f(W) subset {(x,y,z,t) in RR^4 | x+y = 0; x+y+z-t =0}$
2) $dim Imf = 3$

Ricapitolando ciò che è stato fatto:
abbiamo dimostrato che $W = span {(-1,1,0,0) ; (0,0,1,1)}$ Sbagliando, visto che da che cosa sia dato W è scritto nei dati. Quindi quello che si è trovato, CHE COSA E'? Abbiamo creato un mostro?

adesso sappiamo che R^4 ha 4 dimensioni, ma l'immagine di f ne ha 3, per ciò $dim ker f = 1$

e fin qui ci siamo. Ora puoi spiegarmi passo per passo, come faresti ad uno che studia geometria da meno di un mese, come si arriva a costruire l'applicazione lineare? grazie XD

[fu^2]

quello Span in $RR^4$ è la forma scritta in vettori del sotospazio vettoriale di $RR^4$ dove deve vivere f(W). cioè se $Omega={(x,y,z,t)|x+y=0;x+y+z-t=0}$ allora $Omega=span{v_1,v_2}$ con v_1 e v_2 i due vettori del famoso span scritto li sopra ok? Quindi $Omega$ ha dimensione 2.

Ora tieni presente che W vive in $RR_3[x]$ ed è dato dallo span di ${2+x,x^2+x^3,1+x^3}$. Se ora tieni presente l'isomorfismo esistente tra $RR^4$ e $RR_3[x]$ che associa alla base canonica ${e_1,e_2,e_3,e_4}$ la base canonica ${1,x,x^2,x^3}$, $W=span{((2),(1),(0),(0)),((0),(0),(1),(1)),((1),(0),(0),(1))}$ quindi vedi che questi tre vettori sono l.i. e quindi $W\sub RR_e[x]$ ha dimensione 3.

Ci sei fino a qua?

[Zkeggia]

sì fino a qui non ci sono problemi. Ora?

[fu^2]

ora la funzione deve essere tc $dimImf=3$ e $f(W)\sub Omega$. Quindi due vettori partenti da W devono andare in $Omega$, l'ultimo di questi rimane nel kerf e l'ultimo vettore che non deve appartenere a W deve finire a caso nello spazio di arrivo.


Prova a scrivere te le equazioni dell'applicazione, dove ti blocchi dimmi ce vediamo insieme. Fai conto di esprimere con la base canonica in partenza e in arrivo.

[Zkeggia]

Allora per prima cosa un dubbio: Non potrebbe essere che 3 vettori di W vadano $Omega$ ed un quarto non appartenente a W vada in 0?

Comunque vediamo un po':

allora intanto se due vettori di W devono finire In $Omega$ direi:
$f((2),(1),(0),(0)) = v_1$
$f((0),(0),(1),(1)) = v_2$
Poi è la volta del vettore che va in 0:
$f((1),(0),(0),(1)) = 0$

infine è la volta di un vettore non appartenente a W, direi il vettore della base canonica, direi 1:
$f((1),(0),(0),(0)) = e_1

va bene?

[fu^2]

se tre vettori vanno in W sono tre vettori che sono combinazione di due, quindi l'immagine rimane di dimensione due, non puoi a quel punto mandare il quarto vettore estraneo a W nel kerf.

Al posto di mandar esplicitamente nel Kerf un vettore di W puoi mandarlo come combinazione dei due vettori di W, ma è la stessa cosa moralmente.

Ora prova a scrivere esplicitamente la funzione che così va bene, devi trovare (usando la linearità di f) come si comportano i vettori della base, dove vengono mandati. A qul punti hai f in funzione della base canonica; ora dveo andare via... te prova a far i conti tra un oretta vedo

[Zkeggia]

allora per il caso f(e1) = e1 sono a posto

Per il resto vediamo:

$f(e_2) = f (v_1 - 2e_1) = ((-1),(2),(0),(0)) - ((2),(0),(0),(0)) = ((-3),(1),(0),(0))$

$f(e_3) = ((-1),(0),(1),(1))

$f(e_4) = e_1$

mmh... perchè c'è qualcosa che non mi torna? perchè i vettori dello spazio di arrivo non sono indipendenti? (mi riferisco al primo e al quarto) per il resto va bene?

[fu^2]

allora abbiamo che $f(2,1,0,0)=(-1,1,0,0)$, $f(0,0,1,1)=(0,0,1,1)$, $f(1,0,0,1)=(0,0,0,0)$ e infine $f(1,0,0,0)=(1,0,0,0)

quindi ha che
$2f(e_1)+f(e_2)=(-1,1,0,0)
$f(e_3)+f(e_4)=(0,0,1,1)
$f(e_1)+f(e_4)=(0,0,0,0)
$f(e_1)=(1,0,0,0)

come hai risolto te ottieni che hai ${f(e_1),f(e_2),f(e_3)}$ linearmente indipendenti e $f(e_4)\in\span{f(e_1),f(e_2),f(e_3)}$ questo cosa ti dice? Ti dice che la dimensione dello spazio di arrivo è 3, come volevi mi sarei preoccupato se tutti fossero stati l.i.

più chiaro ora?

[Zkeggia]

aaaaah è vero!
grazie mille della pazienza ora ho capito!!!
grazie!