Altri problemini sugli autovalori

[miles_davis1]

1)Dimostrare che il prodotto di due matrici simmetriche è diagonalizzabile se almeno una delle due è definita positiva.

2)Dimostrare che, se una matrice è diagonalizzabile ed i suoi autovettori sono ortogonali, allora essa è necessariamente simmetrica.

3)Dimostrare che la traccia di una matrice è sempre uguale alla somma dei suoi autovalori (contati con la loro molteplicità).

[Inmytime]

1) non ne ho idea

2) se M è diagonalizzabile ed i suoi autovettori sono ortogonali, è scrivibile come $M=QDQ^T$, con $Q$ ortogonale e $D$ diagonale, quindi simmetrica. allora
$M^T=Q^(T T)DQ^T=QDQ^T=M$

3) non è esattamente una dimostrazione da nulla

[*brssfn76]

Alla 3) (non è una dim rigorosa ma una osservazione sul polinomio caratteristico)

Se f(x) è il polinomio caratteristico di una matrice A n*n, le n radici sono x1..xn ove ogni radice è scritta tante volte quanta è la sua molteplicità
possiamo scrivere la fattorizzazione f(x)=(x-x1).....(x-xn). Possiamo sviluppare i prodotti e otteniamo:
$f(x)=x^n + c_(n-1) x^(n-1)+........c_1x + c_0$

Osserviamo che c_(n-1) = -(x1+....+xn) che è proprio la traccia e compare come coeff. elemento n-1 del pol caratt.