Altra dimostrazione lineare indipendenza
Buongiorno! Non riesco a comprendere un passaggio della seguente dimostrazione della lineare indipendenza.
$A in RR^(n xx n)$
autovalori distinti e reali = $lambda_1 , ... , lambda_n$
Sia $v_k$ un autovettore reale associato all'autovalore $lambda_k$
Gli autovettori formano una base di $RR^n$, ovvero $alpha_1v_1 + ... + alpha_nv_n=0$ solo se tutti i coefficienti sono uguali a zero.
Dimostrazione per assurdo:
Supponiamo che gli autovettori siano linearmente dipendenti. Allora $exists s>=2 : {v_1 , ... , v_(s-1)}$ sono linearmente indipendenti mentre ${v_1 , ... , v_(s)}$ sono linearmente dipendenti.
Consideriamo il sistema:
$ { ( sum^(k = s ) Aalpha_kv_k =sum^(k = s) lambda_k alpha_kv_k =0 ),( sum^(k = s) lambda_s alpha_kv_k =0 ):} $
con $alpha_k in RR forall k$ e $alpha_s=1$
Dal sistema ottengo, sostituendo:
$ rArr sum^(k = (s-1)) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k =0$
già qua ho un dubbio....[nota]Ma non è che, per caso, nell'apice dell'ultima sommatoria, anziché esserci scritto $k=s-1$, ci dovrebbe essere scritto $k=s$?[/nota]
Proseguendo, dal libro di testo leggo che questa ultima equazione implica che
$alpha_1=...=alpha_(s-1)=0$ e che anche $alpha_s=0$, in contraddizione con l'ipotesi.
Come mai l'ultima equazione implica $alpha_s = 0$ ??? Non potrebbe darsi che
$(lambda_(s-1) - lambda_s)=0$ ?
$A in RR^(n xx n)$
autovalori distinti e reali = $lambda_1 , ... , lambda_n$
Sia $v_k$ un autovettore reale associato all'autovalore $lambda_k$
Gli autovettori formano una base di $RR^n$, ovvero $alpha_1v_1 + ... + alpha_nv_n=0$ solo se tutti i coefficienti sono uguali a zero.
Dimostrazione per assurdo:
Supponiamo che gli autovettori siano linearmente dipendenti. Allora $exists s>=2 : {v_1 , ... , v_(s-1)}$ sono linearmente indipendenti mentre ${v_1 , ... , v_(s)}$ sono linearmente dipendenti.
Consideriamo il sistema:
$ { ( sum^(k = s ) Aalpha_kv_k =sum^(k = s) lambda_k alpha_kv_k =0 ),( sum^(k = s) lambda_s alpha_kv_k =0 ):} $
con $alpha_k in RR forall k$ e $alpha_s=1$
Dal sistema ottengo, sostituendo:
$ rArr sum^(k = (s-1)) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k =0$
già qua ho un dubbio....[nota]Ma non è che, per caso, nell'apice dell'ultima sommatoria, anziché esserci scritto $k=s-1$, ci dovrebbe essere scritto $k=s$?[/nota]
Proseguendo, dal libro di testo leggo che questa ultima equazione implica che
$alpha_1=...=alpha_(s-1)=0$ e che anche $alpha_s=0$, in contraddizione con l'ipotesi.
Come mai l'ultima equazione implica $alpha_s = 0$ ??? Non potrebbe darsi che
$(lambda_(s-1) - lambda_s)=0$ ?
Risposte
"anonymous_be0efb":
...
$s>=2 : {v_1 , ... , v_(s-1)} $ sono linearmente indipendenti mentre $ {v_1 , ... , v_(s)} $ sono linearmente dipendenti.
Consideriamo il sistema:
$ { ( sum^(k = s ) Aalpha_kv_k =sum^(k = s) lambda_k alpha_kv_k =0 ),( sum^(k = s) lambda_s alpha_kv_k =0 ):} $
con $ alpha_k in RR forall k $ e $ alpha_s=1 $
Dal sistema ottengo, sostituendo:
$ rArr sum^(k = (s-1)) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k =0 $
Se
$ sum^(k = (s-1)) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k =0 $
Considerando la seguente equazione:
$ sum^(k = s) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k =0 $
Allora il primo addendo a sinistra della seguente equazione è uguale a zero:
$[sum^(k = (s-1)) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k] + [(lambda_s - lambda_s)alpha_sv_s] =0 $
Il che implica
$alpha_s=0 $
Chiedo conferma a utenti più esperti, io non ne so molto e non studio algebra lineare da un bel po'.
Io confermo il post di tauto[nota]In napoletano taúto significa "bara del morto". 
[/nota] ;*
[/nota] ;*
"anonymous_be0efb":
$A in RR^(n xx n)$
autovalori distinti e reali = $lambda_1 , ... , lambda_n$
Sia $v_k$ un autovettore reale associato all'autovalore $lambda_k$
Gli autovettori formano una base di $RR^n$, ovvero $alpha_1v_1 + ... + alpha_nv_n=0$ solo se tutti i coefficienti sono uguali a zero.
Dimostrazione per assurdo:
Supponiamo che gli autovettori siano linearmente dipendenti. Allora $exists s>=2 : {v_1 , ... , v_(s-1)}$ sono linearmente indipendenti mentre ${v_1 , ... , v_(s)}$ sono linearmente dipendenti.
Consideriamo il sistema:
$ { ( sum^(k = s ) Aalpha_kv_k =sum^(k = s) lambda_k alpha_kv_k =0 ),( sum^(k = s) lambda_s alpha_kv_k =0 ):} $
con $alpha_k in RR forall k$ e $alpha_s=1$
Non sono d'accordo con tauto perché
$(lambda_s - lambda_s)a_sv_s=0 forall a_s in RR$
Ripartendo dal risultato
$ sum^(k = (s-1)) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k =0 rArr alpha_1=...=alpha_(s-1)=0 $
posso scrivere il seguente sistema:
$ { ( alpha_1=...=alpha_(s-1)=0 ),( sum^(k = s) alpha_kv_k =0 ):} $
Il quale implica
$a_s=0$
in contraddizione con l'ipotesi $a_s=1$
"j18eos":
In napoletano taùto significa "bara del morto".
@CLaudio Nine Hai ragione te: m'era sfuggito un pedice errato; chiedo scusa.
"anonymous_58f0ac":
[quote="j18eos"]In napoletano taùto significa "bara del morto".
[/quote]
[ot]No, taùto deriva dall'arabo (a sua volta da una radice proto-siriana che significa "scatola"), per esempio in arabo moderno l'arca dell'alleanza è chiamata tuttora <tābūt al-ʿahd>, اَلْعَهْد تَابُوت.
In greco invece "tauto-" significa "la stessa [cosa]", ma non è una parola a sé stante, quanto piuttosto la contrazione di τὸ (l'articolo "il/la") + αὐτό ("stesso"), che è il neutro di αὐτός, in un prefisso.[/ot]
grazie mille!!!
"fulcanelli":
[ot]No, taùto deriva dall'arabo (a sua volta da una radice proto-siriana che significa "scatola"), per esempio in arabo moderno l'arca dell'alleanza è chiamata tuttora <tābūt al-ʿahd>, اَلْعَهْد تَابُوت.
In greco invece "tauto-" significa "la stessa [cosa]", ma non è una parola a sé stante, quanto piuttosto la contrazione di τὸ (l'articolo "il/la") + αὐτό ("stesso"), che è il neutro di αὐτός, in un prefisso.[/ot]
[ot]Io mi riferivo al significato greco e non a quello arabo.
Sì, hai ragione, è usato come prefisso che significa "stesso", "identico", e non è una parola a sé stante. volevo solo dare l'idea del significato e non perdermi in particolari[/ot]
Confermo che mi ero sbagliato, ha ragione CLaudio Nine
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