Altra dimostrazione lineare indipendenza

anonymous_b7df6f
Buongiorno! Non riesco a comprendere un passaggio della seguente dimostrazione della lineare indipendenza.

$A in RR^(n xx n)$

autovalori distinti e reali = $lambda_1 , ... , lambda_n$

Sia $v_k$ un autovettore reale associato all'autovalore $lambda_k$

Gli autovettori formano una base di $RR^n$, ovvero $alpha_1v_1 + ... + alpha_nv_n=0$ solo se tutti i coefficienti sono uguali a zero.

Dimostrazione per assurdo:

Supponiamo che gli autovettori siano linearmente dipendenti. Allora $exists s>=2 : {v_1 , ... , v_(s-1)}$ sono linearmente indipendenti mentre ${v_1 , ... , v_(s)}$ sono linearmente dipendenti.

Consideriamo il sistema:

$ { ( sum^(k = s ) Aalpha_kv_k =sum^(k = s) lambda_k alpha_kv_k =0 ),( sum^(k = s) lambda_s alpha_kv_k =0 ):} $

con $alpha_k in RR forall k$ e $alpha_s=1$

Dal sistema ottengo, sostituendo:

$ rArr sum^(k = (s-1)) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k =0$

già qua ho un dubbio....[nota]Ma non è che, per caso, nell'apice dell'ultima sommatoria, anziché esserci scritto $k=s-1$, ci dovrebbe essere scritto $k=s$?[/nota]

Proseguendo, dal libro di testo leggo che questa ultima equazione implica che

$alpha_1=...=alpha_(s-1)=0$ e che anche $alpha_s=0$, in contraddizione con l'ipotesi.

Come mai l'ultima equazione implica $alpha_s = 0$ ??? Non potrebbe darsi che

$(lambda_(s-1) - lambda_s)=0$ ?

Risposte
anonymous_58f0ac
"anonymous_be0efb":


...
$s>=2 : {v_1 , ... , v_(s-1)} $ sono linearmente indipendenti mentre $ {v_1 , ... , v_(s)} $ sono linearmente dipendenti.

Consideriamo il sistema:

$ { ( sum^(k = s ) Aalpha_kv_k =sum^(k = s) lambda_k alpha_kv_k =0 ),( sum^(k = s) lambda_s alpha_kv_k =0 ):} $

con $ alpha_k in RR forall k $ e $ alpha_s=1 $

Dal sistema ottengo, sostituendo:

$ rArr sum^(k = (s-1)) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k =0 $



Se

$ sum^(k = (s-1)) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k =0 $

Considerando la seguente equazione:

$ sum^(k = s) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k =0 $

Allora il primo addendo a sinistra della seguente equazione è uguale a zero:

$[sum^(k = (s-1)) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k] + [(lambda_s - lambda_s)alpha_sv_s] =0 $

Il che implica

$alpha_s=0 $

Chiedo conferma a utenti più esperti, io non ne so molto e non studio algebra lineare da un bel po'.

j18eos
Io confermo il post di tauto[nota]In napoletano taúto significa "bara del morto". :lol:[/nota] ;*

CLaudio Nine
"anonymous_be0efb":

$A in RR^(n xx n)$

autovalori distinti e reali = $lambda_1 , ... , lambda_n$

Sia $v_k$ un autovettore reale associato all'autovalore $lambda_k$

Gli autovettori formano una base di $RR^n$, ovvero $alpha_1v_1 + ... + alpha_nv_n=0$ solo se tutti i coefficienti sono uguali a zero.

Dimostrazione per assurdo:

Supponiamo che gli autovettori siano linearmente dipendenti. Allora $exists s>=2 : {v_1 , ... , v_(s-1)}$ sono linearmente indipendenti mentre ${v_1 , ... , v_(s)}$ sono linearmente dipendenti.

Consideriamo il sistema:

$ { ( sum^(k = s ) Aalpha_kv_k =sum^(k = s) lambda_k alpha_kv_k =0 ),( sum^(k = s) lambda_s alpha_kv_k =0 ):} $

con $alpha_k in RR forall k$ e $alpha_s=1$



Non sono d'accordo con tauto perché

$(lambda_s - lambda_s)a_sv_s=0 forall a_s in RR$

Ripartendo dal risultato

$ sum^(k = (s-1)) (lambda_k-lambda_s) alpha_kv_k =0 rArr alpha_1=...=alpha_(s-1)=0 $

posso scrivere il seguente sistema:

$ { ( alpha_1=...=alpha_(s-1)=0 ),( sum^(k = s) alpha_kv_k =0 ):} $

Il quale implica

$a_s=0$

in contraddizione con l'ipotesi $a_s=1$

anonymous_58f0ac
"j18eos":
In napoletano taùto significa "bara del morto". :lol:



j18eos
@CLaudio Nine Hai ragione te: m'era sfuggito un pedice errato; chiedo scusa.

fulcanelli
"anonymous_58f0ac":
[quote="j18eos"]In napoletano taùto significa "bara del morto". :lol:


[/quote]
[ot]No, taùto deriva dall'arabo (a sua volta da una radice proto-siriana che significa "scatola"), per esempio in arabo moderno l'arca dell'alleanza è chiamata tuttora <tābūt al-ʿahd>, اَلْعَهْد تَابُوت.

In greco invece "tauto-" significa "la stessa [cosa]", ma non è una parola a sé stante, quanto piuttosto la contrazione di τὸ (l'articolo "il/la") + αὐτό ("stesso"), che è il neutro di αὐτός, in un prefisso.[/ot]

anonymous_b7df6f
grazie mille!!!

anonymous_58f0ac
"fulcanelli":

[ot]No, taùto deriva dall'arabo (a sua volta da una radice proto-siriana che significa "scatola"), per esempio in arabo moderno l'arca dell'alleanza è chiamata tuttora <tābūt al-ʿahd>, اَلْعَهْد تَابُوت.

In greco invece "tauto-" significa "la stessa [cosa]", ma non è una parola a sé stante, quanto piuttosto la contrazione di τὸ (l'articolo "il/la") + αὐτό ("stesso"), che è il neutro di αὐτός, in un prefisso.[/ot]


[ot]Io mi riferivo al significato greco e non a quello arabo.
Sì, hai ragione, è usato come prefisso che significa "stesso", "identico", e non è una parola a sé stante. volevo solo dare l'idea del significato e non perdermi in particolari[/ot]

anonymous_58f0ac
Confermo che mi ero sbagliato, ha ragione CLaudio Nine

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