Alle prime armi: definizione spazio vettoriale

[zio_mangrovia]

Correggetemi se sbaglio ma da quel che ho letto ho capito che:

si definisce spazio vettoriale o lineare un insieme dove è definita la somma, il multiplo, l'elemento neutro e quello opposto dove valgono alcune proprietà che costituiscono gli assiomi (p.e. la proprietà commutativa, distributiva, associativa, ...)

Se non sbaglio $R^n$ dovrebbe essere uno spazio vettoriale, giusto?

Leggo che $R^n$ possiede anche una struttura metrica oltre quella lineare, per lineare si intenda quella citata nella definizione precedente secondo voi?

Scusate ma per andare avanti nello studio mi devo chiarire le idee, quindi a quale concetta allora si rifà la struttura Euclidea?
$R^n$ ha quindi anche una struttura Euclidea?

Grazie

[Vicia]

Ciao!
Innanzitutto non è definito il multiplo, ma il prodotto per uno scalare, per il resto per vie generale la definizione di spazio vettoriale è quella. Si $RR^n$ è un sottospazio.
Per il resto, dimmi sai cos'è una struttura metrica, uno spazio affine, uno spazio euclideo?

[zio_mangrovia]

"Vicia":
Si $RR^n$ è un sottospazio.

Non conosco questa definizione di sottospazio, ma non ho capito il Si a quale domanda si riferiva?

"Vicia":
dimmi sai cos'è una struttura metrica, uno spazio affine, uno spazio euclideo?

ho letto qualcosa ma ho le idee confuse come si può vedere

Grazie

[Vicia]

"zio_mangrovia":
Se non sbaglio $R^n$ dovrebbe essere uno spazio vettoriale, giusto?

Il Si è riferito al "giusto?" $RR^n$ è sottospazio vettoriale perchè rispetta la definizione di spazio vettoriale. Ovvero esistenza dell'elemento neutro, esistenza dell'elemento opposto, dotato di somma, dotato di prodotto per uno scalare. Da qui capisci se è sottospazio o meno.
Sei alle prime armi con l'algebra lineare? Per i concetti di spazio affine, metrica e spazio euclideo non penso ti servano fin da subito(parlo per esperienza, dato che è stato uno degli ultimo argomenti che ho affrontato poi non so). In linee generali:
Per spazio affine si intende una struttura matematica strettamente collegata a quella di spazio vettoriale. Essa si ottiene da uno spazio vettoriale eliminando però la possibilità che tra i punti che lo contengono ve ne sia uno, l'origine, "privilegiato" rispetto agli altri. Qui poi entra in gioco il concetto di riferimento affine.
Per spazio euclideo invece si intende uno spazio affine in cui sono rispettati gli assiomi e i postulati della geometria euclidea e in cui sono fissate le strutture metriche( distanza) per riuscire a definire il concetto di distanza, lunghezza angolo..

[zio_mangrovia]

Grazie molte per le precisazioni.
Sono all'inizio ed in questo momento sto preparando l'esame è di analisi II dove ho pensato di dedicarmi inizialmente ad algebra lineare ma ho anche il dubbio se preparare contemporaneamente la parte di analisi II.
Non so soffermarmi su queste definizioni già da ora visto che come dici tu i concetti di spazio affine, metrica e spazio euclideo saranno più utili in seguito.
Quindi lo spazio Euclideo non ha l'origine, essendo definito come spazio affine.

[garnak.olegovitc1]

"Vicia":In linee generali:
Per spazio affine si intende una struttura matematica strettamente collegata a quella di spazio vettoriale. Essa si ottiene da uno spazio vettoriale eliminando però la possibilità che tra i punti che lo contengono ve ne sia uno, l'origine, "privilegiato" rispetto agli altri. Qui poi entra in gioco il concetto di riferimento affine.
Per spazio euclideo invece si intende uno spazio affine in cui sono rispettati gli assiomi e i postulati della geometria euclidea e in cui sono fissate le strutture metriche( distanza) per riuscire a definire il concetto di distanza, lunghezza angolo..

"linee generali"? Per dirla un po alla De Sica "generalissime", sembrano prese dai sommari di wikipedia. Esistono diverse caratterizzazioni per spazio affine ed euclideo a seconda del contesto, su wikipedia per spazio affine se ricordo bene vengono trattate solo due di queste tra loro per altro equivalenti e facile da dimostrare, mentre per spazio euclideo se ricordo bene si limita a poche righe senza una generalizzazione precisa. Ricorrendo ad un buon testo di Algebra Lineare I e usando concetti a te presumo familiari, preso, rispet. per spazio affine e spazio euclideo:

- un insieme \(A\), un \(\Bbb K\)-spazio vettoriale \(V\), una funziona \(ẞ: (A \times A) \to V\), si dice \((A, V ,ẞ)\) spazio affine se abbiamo:

\(\forall x,y,z, \in A: ẞ((x,y))+ẞ((y,z))=ẞ((x,z))\)[/list:u:86b9aaot]

\(\forall x \in A,\forall y \in V, \exists !z \in A: ẞ((x,z))=y\)[/list:u:86b9aaot]

- un \(\Bbb R\)-spazio vettoriale \(V\), una forma bilineare su \(V\) \(ẞ: (V \times V) \to \Bbb R\), si dice \(( V ,ẞ)\) spazio euclideo se abbiamo:

\(ẞ\) è simmetrica[/list:u:86b9aaot]

\(ẞ\) è définie[nota]mi rifaccio a wiki francese (clic)[/nota][/list:u:86b9aaot]

\(ẞ\) è positiva[/list:u:86b9aaot]
Dato uno spazio euclideo \(( V ,ẞ)\), e \(r \in V\), si definisce norma di \(r\) e si indica con \(\lVert r \rVert\) per indicare \(\sqrt{ẞ((r,r))}\), di conseguenza si definisce una relazione che poi si mostra essere una funzione \(h:(V\times V)\to \Bbb R\) ove \(\forall x,y \in V:h((x,y))=\lVert x - y \rVert\), si dimostra anche che \(h\) é metrica su \(V\) ergo per definizione \((V,h)\) è spazio metrico e in particolare spazio vettoriale metrico poiché \(V\) è preso spazio vettoriale.

Dato uno spazio affine \((A,V,ẞ)\), ed una forma bilinera su \(V\) \(ß\), se \((V, ß)\) è inoltre spazio euclideo si dice \((A,V,ẞ)\) è spazio affine euclideo, su quest´ultimo si definisce una relazione che si mostra essere una funzione .. bla bla bla.., si dimostra che è metrica .. bla bla bla..

PS=che testo usi per questi concetti?

[pigrecoedition]

Le posso consigliare un manuale universitario dove sono spiegati in maniera chiara i concetti suddetti: 'Pagine di Geometria', autore S. Dragotti, editore ADISU.