Algoritmo misterioso per matrice inversa
salve ragazzi..
su una prova svolta d'esame è presente un algoritmo strano tramite il quale è possibile calcolare la matrice inversa senza passare dal complemento algebrico...
potreste aiutarmi a capirlo? perche non lo comprendo...
algoritmo : (A|I3) --> (S|X)-->(D|Y)--->(I3|A^-1)
dove I3 è la matrice identità
A = $((1,0,2),(2,-1,3),(1,0,1))$ -> $((1,0,2|1,0,0),(2,-1,3|0,1,0),(1,0,1|0,0,1))$ -> $((1,0,2|1,0,0),(0,-1,-1|-2,1,0),(0,0,-1|-1,0,1))$ --> $((1,0,0|-1,0,2),(0,-1,0|-1,1,-1),(0,0,-1|-1,0,1))$ -> $((1,0,0|-1,0,2),(0,1,0|1,-1,1),(0,0,1|1,0,-1))$
nell'ultima matrice , la matrice 3x3 accanto la matrice identita è esattamente l'inversa di A.
mi spiegate in cosa consistono questi passaggi? non li capisco
ve ne sarei grato.
su una prova svolta d'esame è presente un algoritmo strano tramite il quale è possibile calcolare la matrice inversa senza passare dal complemento algebrico...
potreste aiutarmi a capirlo? perche non lo comprendo...
algoritmo : (A|I3) --> (S|X)-->(D|Y)--->(I3|A^-1)
dove I3 è la matrice identità
A = $((1,0,2),(2,-1,3),(1,0,1))$ -> $((1,0,2|1,0,0),(2,-1,3|0,1,0),(1,0,1|0,0,1))$ -> $((1,0,2|1,0,0),(0,-1,-1|-2,1,0),(0,0,-1|-1,0,1))$ --> $((1,0,0|-1,0,2),(0,-1,0|-1,1,-1),(0,0,-1|-1,0,1))$ -> $((1,0,0|-1,0,2),(0,1,0|1,-1,1),(0,0,1|1,0,-1))$
nell'ultima matrice , la matrice 3x3 accanto la matrice identita è esattamente l'inversa di A.
mi spiegate in cosa consistono questi passaggi? non li capisco
ve ne sarei grato.
Risposte
Devi cercare attraverso semplici operazioni del tipo " Somma la prima riga all'ultima riga" nella matrice A cercando di farla diventare $I3$,ma contemporaneamente questi passi li devi eseguire sulla matrice identica!
Alla fine ,come hai detto,otterrai la matrice $I3$ fiancheggiata dalla matrice inversa di $A$.
Alla fine ,come hai detto,otterrai la matrice $I3$ fiancheggiata dalla matrice inversa di $A$.
e se guardi/guardate l'algoritmo iniziale , riesci/riuscite a capire cosa sono D,X,Y ? cosa simboleggiano nel procedimento?
grazie comunque. quali operazioni sono state fatte sulle righe le riesci/riuscite a capire?
grazie comunque. quali operazioni sono state fatte sulle righe le riesci/riuscite a capire?
ah un'altra cosa... le operazioni di cui parli devono essere fatte singolarmente nelle due matrici? se se, devono essere le stesse per l'una e per l'altra? oppure si fanno considerando la matrice 3x6 ?
La condizione di essere l'inversa di una matrice A equivale all'equazione matriciale:
\[AX = I_n\]
Dove \(X\) è una matrice. Questa scrittura non è comune e generalmente i sistemi sono scritti \(Ax = b\).
Ora però analizza la prima colonna di \(I_n\) e noterai che è uguale al prodotto della matrice per la prima colonna di \(X\). La stessa cosa vale per la seconda colonna e così via fino alla n-esima colonna.
Il metodo che hai scritto non è altro che il metodo di Gauss-Jordan applicato contemporaneamente a tutte le colonne. A cui però aggiungi anche le operazioni sulle colonne.
\[AX = I_n\]
Dove \(X\) è una matrice. Questa scrittura non è comune e generalmente i sistemi sono scritti \(Ax = b\).
Ora però analizza la prima colonna di \(I_n\) e noterai che è uguale al prodotto della matrice per la prima colonna di \(X\). La stessa cosa vale per la seconda colonna e così via fino alla n-esima colonna.
Il metodo che hai scritto non è altro che il metodo di Gauss-Jordan applicato contemporaneamente a tutte le colonne. A cui però aggiungi anche le operazioni sulle colonne.
grazie mille davvero. molto chiaro 
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