Algoritmo di grandsmit e coefficente di furier

[blake1]

Premetto che non so scrivere i nomi di questi matematici e faccio subito un metà culpa arriviamo al dunque sono un po confuso su queste due cose sul mio testo di geometria non mi spiega bene gli argomenti allora partiamo dalla prima domanda

1°) mi sapeste dire questo algoritmo quando fu creato per cosa fu pensato ovvero quando lo si USA si cerca un vettore che sia ortogonale al primo preso?
2°) mi sapeste spiegare il coefficiente di furier come si trova questo coefficiente e me lo spieghereste con la combinazione lineare di vettori ortogonali e/o ortonormali che siano? sul mio libro é scritto un po male e non sono sicuro di aver capito qualcosa

[Emar1]

Innanzi tutto ti consiglio questo articolo. Il tuo messaggio è difficile da leggere!

Per quanto riguarda il nome dei matematici, cercandoli con google, si trovano quelli corretti in pochi secondi.


Ma veniamo alle domande:

1 - L'algoritmo di Gram-Schmidt è un procedimento che ti permette di ricavare, da un insieme di vettori linearmente indipendenti, un insieme di vettori ortogonali. Si utilizza ad esempio per trovare una base ortogonale di uno spazio vettoriale a partire da una base qualsiasi.

2 - Non ho ben capito cosa chiedi. Il coefficiente di Fourier di $\mathbf{v}$ rispetto a $\mathbf{u}$ è: [tex]c = {{\langle \mathbf{v},\mathbf{u}\rangle} \over {\langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle}}[/tex]
In pratica è $c \mathbf{v}$ rappresenta la proiezione ortogonale di $\mathbf{v}$ sul vettore $\mathbf{u}$. Cos'è che non hai capito?

[blake1]

Innanzi tutto ti chiedo scusa per la punteggiatura.
Per quanto riguarda il coefficiente di fourier, sul mio testo mi scrive la combinazione lineare di vettori ortogonali, il coefficiente in questione non é altro che il prodotto scalare di con k=1.........n
Ora ammesso che i vettori V1,......,Vn li conosca perche so che sono la base il vettore v cosa sarebbe?
PS. Mi da resti un link per imparare a scrivere in tex queste formule?

[Emar1]

"blake":
PS. Mi da resti un link per imparare a scrivere in tex queste formule?

Puoi guardare qui: viewtopic.php?f=18&t=26179

"blake":
Per quanto riguarda il coefficiente di fourier, sul mio testo mi scrive la combinazione lineare di vettori ortogonali, il coefficiente in questione non é altro che il prodotto scalare di con k=1.........n

No! Il coefficiente di Fourier si semplifica nel caso di proiezioni su vettori ortonormali, ovvero un insieme di versori ortogonali, non di vettori ortogonali. Se il vettore $\mathbf{u}$ ha norma unitaria, ovvero $||\mathbf{u}|| = 1$, e ricordando che la norma è $||\mathbf{u}|| = \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}$, il denominatore del coefficiente di Fourier è 1 e quindi sparisce:

\[ c = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle} = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}{{||\mathbf{u}||}^2} = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle \]

"blake":
Ora ammesso che i vettori V1,......,Vn li conosca perche so che sono la base il vettore v cosa sarebbe?

Quello a cui si riferisce il tuo testo è il metodo per trovare le coordinate di un vettore rispetto ad una base ortonormale.

Siano $\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},...,\mathbf{v_n}$ gli elementi della tua base ortonormale, quindi $||\mathbf{v_i}|| = 1$. Le coordinate di un generico vettore $\mathbf{v}$ del tuo spazio non sono altro che i coefficienti di Fourier di $\mathbf{v}$ rispetto a ogni vettore (versore) della base. In formule:

\[ \mathbf{v} = (\langle \mathbf{v}, \mathbf{v_1} \rangle) \mathbf{v_1} + (\langle \mathbf{v}, \mathbf{v_2} \rangle) \mathbf{v_2} + ... + (\langle \mathbf{v}, \mathbf{v_n} \rangle) \mathbf{v_n} \]

E' come per lo spazio euclideo bidimensionale! Quando hai un vettore $\mathbf{v}$ per trovarne le componenti come fai? In pratica proietti il vettore sugli assi, ovvero sulla coppia ortonormale $\hat{i}, \hat{j}$.

[blake1]

Credo di aver Capito pero mi serve capire una cosa hai visto nella combinazione lineare della base ortonormale nel prodotto scalare hai messo $ k=1,....,n$ quel vettore v lo prendo io a caso o si riferisce a qualche vettore in particolare

[blake1]

Mi rispondi per favore

[Emar1]

È il vettore di cui vuoi trovare le coordinate rispetto a una base ortogonale