Algoritmo di Berlekamp
Sono alle prese con degli esercizi sul primo teorema di Berlekamp, ovvero sulla fattorizzazione di polinomi in Zp[x].
Il mio dubbio riguarda la dimensione del Ker della matrice Q-I, dove Q è la matrice dei resti delle varie divisioni e I la matrice identica. Infatti dagli esercizi che ho fatto non mi risultà l'identità: n = null (Q) + rango (Q)
(dove nell'equazione n è il numero di colonne di Q e null (Q) è l'indice di nullità di Q ) che, se non sbaglio, dovrebbe valere per qualunque matrice.
Poichè ho controllato i risultati e gli esercizi sono giusti, può essere che in Zp (e quindi in un campo finito) il teorema del rango no valga più?
Il mio dubbio riguarda la dimensione del Ker della matrice Q-I, dove Q è la matrice dei resti delle varie divisioni e I la matrice identica. Infatti dagli esercizi che ho fatto non mi risultà l'identità: n = null (Q) + rango (Q)
(dove nell'equazione n è il numero di colonne di Q e null (Q) è l'indice di nullità di Q ) che, se non sbaglio, dovrebbe valere per qualunque matrice.
Poichè ho controllato i risultati e gli esercizi sono giusti, può essere che in Zp (e quindi in un campo finito) il teorema del rango no valga più?
Risposte
Benvenuta! Proverò ad aiutarti. Per prima cosa puoi postare i conti che hai fatto per quanto riguarda uno degli esercizi di cui parli?
Esempio
Fattorizzare $x^4+1$ in $ZZ_3[x]$.
Si ha quindi $n=4$, $p=3$. Calcolando le divisioni di $X^(ip)$ dove $i=0,...,3$ per $x^4+1$ si trova la matrice $Q$, le cui colonne sono i resti di queste divisioni.
$Q$ risulta essere: $Q= ((1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,-1,0),(0,1,0,0))$ (i vettori che ho scritto sono le righe della matrice)
da cui $Q-I = ((0,0,0,0),(0,2,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,2))$ (ricordo che stiamo lavorando su $ZZ_3$).
$\text{Ker} (Q-I) = <(1,0,0,0); (0,1,0,1)>$
La matrice Q-I dunque ha rango 3, nullità 2 e numero colonne 4. Ma $3+2=5$, non $4$ !!
Fattorizzare $x^4+1$ in $ZZ_3[x]$.
Si ha quindi $n=4$, $p=3$. Calcolando le divisioni di $X^(ip)$ dove $i=0,...,3$ per $x^4+1$ si trova la matrice $Q$, le cui colonne sono i resti di queste divisioni.
$Q$ risulta essere: $Q= ((1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,-1,0),(0,1,0,0))$ (i vettori che ho scritto sono le righe della matrice)
da cui $Q-I = ((0,0,0,0),(0,2,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,2))$ (ricordo che stiamo lavorando su $ZZ_3$).
$\text{Ker} (Q-I) = <(1,0,0,0); (0,1,0,1)>$
La matrice Q-I dunque ha rango 3, nullità 2 e numero colonne 4. Ma $3+2=5$, non $4$ !!
Il rango è $2$. Infatti la IV riga si ottiene dalla II moltiplicando per $2$.
Ha ragione! Grazie mille!!
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