AlgLin: AB = BA sse (AB)^2 = (BA)^2

[Sk_Anonymous]

Essendo $A, B \in M_2(\mathbb{R}^+)$ due matrici quadrate di ordine $2$ a elementi reali positivi, mostrare che $AB = BA$ sse $(AB)^2 = (BA)^2$.

N.B.: siccome una delle due implicazione è banale, vi inviterei caldamente a concentrarvi piuttosto sull'altra!

[Nidhogg]

Il prodotto righe per colonne è commutativo quando le matrici sono diagonali. La potenza di una matrice diagonale genera una matrice con elementi della matrice di partenza elevati alla potenza. Credo che si possa partire da qui... Vero?

[Sk_Anonymous]

"leonardo":Il prodotto righe per colonne è commutativo quando le matrici sono diagonali. La potenza di una matrice diagonale genera una matrice con elementi della matrice di partenza elevati alla potenza. Credo che si possa partire da qui... Vero?

Al di là di tutto, c'è il fatto che le matrici in gioco non è detto siano diagonalizzabili. Boh, poi magari ti riesce di tirarne comunque fuori qualche cosa. Non è tuttavia l'approccio a cui avrei pensato io, nossignore...

[Nidhogg]

Beh allora si può procedere per induzione sull'ordine della potenza?

[Sk_Anonymous]

"leonardo":Beh allora si può procedere per induzione sull'ordine della potenza?

Uh?! Le uniche potenze in gioco sono i quadrati, e le matrici sono quadrate di ordine $2$. Naaah, niente induzione...