ALGEBRA VETTORIALE
Salve...
Mi posso permettere di porvi due domande di algebra lineare che mi assillano da giorni? (Una l'avevo già messa in un'altra parte del forum...)
1) siano $v$ e $w$ due vettori linearmente indipendenti. Allora è vero che il vettore $(lambdav+w) wedge (lambdaw-v)$ è diverso da zero, per ogni numero reale $lambda$?
2) è vero che tre vettori in $RR^5$ sono sempre linearmente dipendenti? Perchè?
Io ho pensato per la 1) che è falso, per $lambda=0$ il prodotto si annulla... Per la 2) penso che sia falso lo stesso, ma non so come giustificare la risposta...
Mi posso permettere di porvi due domande di algebra lineare che mi assillano da giorni? (Una l'avevo già messa in un'altra parte del forum...)
1) siano $v$ e $w$ due vettori linearmente indipendenti. Allora è vero che il vettore $(lambdav+w) wedge (lambdaw-v)$ è diverso da zero, per ogni numero reale $lambda$?
2) è vero che tre vettori in $RR^5$ sono sempre linearmente dipendenti? Perchè?
Io ho pensato per la 1) che è falso, per $lambda=0$ il prodotto si annulla... Per la 2) penso che sia falso lo stesso, ma non so come giustificare la risposta...
Risposte
la prima non riesco a leggerla (non possi installare il programma per le formule)
la seconda :
No, non e' vero.
ad esempio i vettori
v = (0,0,0,0,1)
w = (0,0,0,1,0)
z = (0,0,1,0,0)
sono linearmente indipendenti....
la seconda :
No, non e' vero.
ad esempio i vettori
v = (0,0,0,0,1)
w = (0,0,0,1,0)
z = (0,0,1,0,0)
sono linearmente indipendenti....
ad esempio i vettori
v = (0,0,0,0,1)
w = (0,0,0,1,0)
z = (0,0,1,0,0)
sono linearmente indipendenti....
Ah giusto sono indipendenti perchè formano una matrice a gradini...
Riguardo la 1), chiedevo : siano v e w due vettori linearmente indipendenti. E' vero che il vettore ((λv+w) wedge (λ
w-v)) è diverso da zero, per ogni numero reale λ?
...
cosa significa "wedge"?
l'ho chiesto qui ai miei alunni, ma nessuno ne ha idea...
cosa significa "wedge"?
l'ho chiesto qui ai miei alunni, ma nessuno ne ha idea...
Beh, "wedge" è l'operatore del prodotto vettoriale...
ah, ecco! grazie!
perche?
se $lambda$ = 0 il prodotto vettoriale diventa il prodotto vettoriale fra w e -v che e' nullo se e solo se w e v sono perpendicolari...
concordo comunque con la risposta "FALSA" inquanto appunto se v e w sono perpendicolari il prodotto vettoriale si annulla per $lambda$ = 0
ti pare?
"nepero87":
1) siano $v$ e $w$ due vettori linearmente indipendenti. Allora è vero che il vettore $(lambdav+w) wedge (lambdaw-v)$ è diverso da zero, per ogni numero reale $lambda$?
Io ho pensato che è falso, per $lambda=0$ il prodotto si annulla...
perche?
se $lambda$ = 0 il prodotto vettoriale diventa il prodotto vettoriale fra w e -v che e' nullo se e solo se w e v sono perpendicolari...
concordo comunque con la risposta "FALSA" inquanto appunto se v e w sono perpendicolari il prodotto vettoriale si annulla per $lambda$ = 0
ti pare?
Ah quindi è giusto dire che è falsa, perchè per $lambda=0$ il prodotto vettoriale si annulla...
Ma il prodotto vettoriale non è definito come ||v|| + ||w|| * sin k, dove k è l'angolo compreso tra v e w...
Se fossero perpendicolari, il prodotto vettoriale non vale v*w*1 = v*w?
Comunque la sostanza non dovrebbe cambiare, perchè caso mai i vettori fossero paralleli, $lambda$ potrebbe comunque assumere un valore per il quale il prodotto vettoriale si annullerebbe, no?
Ma il prodotto vettoriale non è definito come ||v|| + ||w|| * sin k, dove k è l'angolo compreso tra v e w...
Se fossero perpendicolari, il prodotto vettoriale non vale v*w*1 = v*w?
Comunque la sostanza non dovrebbe cambiare, perchè caso mai i vettori fossero paralleli, $lambda$ potrebbe comunque assumere un valore per il quale il prodotto vettoriale si annullerebbe, no?
mammamia che ho detto!
pensavo al coseno, non so perche'...
chiedo venia!
allora il discorso cambia visto che i due vettori non possono essere paralleli, o sbaglio?
dunque la risposta e' "VERO"
infatti un prodotto vettoriale, fra due vettori non nulli, e' nullo se e solo se i vettori sono paralleli.
ora V e W sono non nulli e non paralleli, di consequenza non sono ne' nulli, ne' paralleli i vettori LV+W e LW-V
ti torna?
pensavo al coseno, non so perche'...
chiedo venia!
allora il discorso cambia visto che i due vettori non possono essere paralleli, o sbaglio?
dunque la risposta e' "VERO"
infatti un prodotto vettoriale, fra due vettori non nulli, e' nullo se e solo se i vettori sono paralleli.
ora V e W sono non nulli e non paralleli, di consequenza non sono ne' nulli, ne' paralleli i vettori LV+W e LW-V
ti torna?
Uhm... Perchè hai detto che i vettori non possono essere paralleli? Il fatto che siano linearmente indipendenti pregiudica qualcosa?
Se potessimo supporre che sono paralleli, allora la risposta dovrebbe essere "FALSO", perchè esiste un lambda per cui il prodotto vettoriale si può annullare, giusto?
Se potessimo supporre che sono paralleli, allora la risposta dovrebbe essere "FALSO", perchè esiste un lambda per cui il prodotto vettoriale si può annullare, giusto?
"nepero87":
1) siano $v$ e $w$ due vettori linearmente indipendenti. Allora è vero che il vettore $(lambdav+w) wedge (lambdaw-v)$ è diverso da zero, per ogni numero reale $lambda$?
Sì, è VERO! Poiché il prodotto vettore è distributivo sulla somma e antisimmetrico, vale $(\lambda v+w) \wedge (\lambda w-v) = \lambda^2 v \wedge w - w \wedge v = (\lambda^2 + 1) v \wedge w$. Actually, $\lambda^2 + 1 > 0$, se $\lambda \in \mathbb{R}$, e inoltre $v \wedge w \neq 0$, se $v$ e $w$ sono l.i. Tutto qui...
Uhm... ok, grazie... 
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