Algebra, vettori perpendicolari
Essendo per me l'algebra lineare una materia nuova, con tutto il suo linguaggio procedimenti ecc, vorrei gentilmente che qualcuno potesse correggere o confermare un paio di esercizi semplici che ho provato a fare, o almeno mi sembrano semplici, ma dato che sono i primi che provo a fare...
1)Dimostrare che se un vettore $A$ è perpendicolare ad ogni vettore $X$, allora $A$ è il vettore nullo.
Quindi per ipotesi abbiamo che $A*X=0$, e dobbiamo dimostrare che $A$ corrisponde all'n-upla $(0,...,0)
Ho pensato di ragionare per assurdo, cioè porre $A$ diverso dal vettore nullo, cioè una sua generica coordinata $a_i≠0$
Per ipotesi $A$ è perpendicolare ad ogni vettore, in particolare considero il vettore $X_i$ tale che la sua coordinata $x_i=1$ e tutte le altre sue coordinate sono zero. Abbiamo quindi per la definizione del prodotto scalare che $A*X_i=a_i$ , e per ipotesi anche che $A*X_i=0$, cioè
$a_i=0$, assurdo.
Quindi $A$ è il vettore nullo.
2) Siano $A_1,...,A_r$ vettori non nulli e mutuamente perpendicolari, in altre parole $A_j*A_i=0$ se $j!=i$. Siano $c_1,...,c_r$ numeri tali che
$c_1A_1+...+c_rA_r=0$
Dimostrare che tutti i numeri $c_i$ sono nulli.
Ho pensato di elevare ambo i membri di $c_1A_1+...+c_rA_r=0$ al quadrato
$(c_1A_1+...+c_rA_r)^2=0$
Oltre ad elevare tutti i termini del primo membro al quadrato mi troverei tutti i doppi prodotti misti: per ipotesi però, essendo tutti i vettori mutuamente perpendicolari, tali prodotti misti sono uguali a zero. Scrivo quindi
$c_1^2A_1^2+...+c_r^2A_r^2=0$
Le quantità $A_i^2$ sono sicuramente quantità positive non nulle, essendo prodotti scalari di vettori per se stessi e non nulli.
Le quantità $c_i^2$ sono non negative, e quindi per verificare l'uguaglianza dev'essere $c_1=....=c_r=0$
Se qualcuno potesse darci un'occhio
..
1)Dimostrare che se un vettore $A$ è perpendicolare ad ogni vettore $X$, allora $A$ è il vettore nullo.
Quindi per ipotesi abbiamo che $A*X=0$, e dobbiamo dimostrare che $A$ corrisponde all'n-upla $(0,...,0)
Ho pensato di ragionare per assurdo, cioè porre $A$ diverso dal vettore nullo, cioè una sua generica coordinata $a_i≠0$
Per ipotesi $A$ è perpendicolare ad ogni vettore, in particolare considero il vettore $X_i$ tale che la sua coordinata $x_i=1$ e tutte le altre sue coordinate sono zero. Abbiamo quindi per la definizione del prodotto scalare che $A*X_i=a_i$ , e per ipotesi anche che $A*X_i=0$, cioè
$a_i=0$, assurdo.
Quindi $A$ è il vettore nullo.
2) Siano $A_1,...,A_r$ vettori non nulli e mutuamente perpendicolari, in altre parole $A_j*A_i=0$ se $j!=i$. Siano $c_1,...,c_r$ numeri tali che
$c_1A_1+...+c_rA_r=0$
Dimostrare che tutti i numeri $c_i$ sono nulli.
Ho pensato di elevare ambo i membri di $c_1A_1+...+c_rA_r=0$ al quadrato
$(c_1A_1+...+c_rA_r)^2=0$
Oltre ad elevare tutti i termini del primo membro al quadrato mi troverei tutti i doppi prodotti misti: per ipotesi però, essendo tutti i vettori mutuamente perpendicolari, tali prodotti misti sono uguali a zero. Scrivo quindi
$c_1^2A_1^2+...+c_r^2A_r^2=0$
Le quantità $A_i^2$ sono sicuramente quantità positive non nulle, essendo prodotti scalari di vettori per se stessi e non nulli.
Le quantità $c_i^2$ sono non negative, e quindi per verificare l'uguaglianza dev'essere $c_1=....=c_r=0$
Se qualcuno potesse darci un'occhio
..
Risposte
Il primo è giusto ed economicamente svolto.
Quanto al secondo, mi pare più economico - per dimostrare che $c_i=0$ - moltiplicare i due membri per $A_i$.
Quanto al secondo, mi pare più economico - per dimostrare che $c_i=0$ - moltiplicare i due membri per $A_i$.
"Martino":
Quanto al secondo, mi pare più economico - per dimostrare che $c_i=0$ - moltiplicare i due membri per $A_i$.
Giustissimo
Grazie mille 
Per il primo: non c'è bisogno di ricorrere all'assurdo, lo stesso ragionamento può essere usato per una dimostrazione diretta.
"Gugo82":
Per il primo: non c'è bisogno di ricorrere all'assurdo, il ragionamento che usi può essere usato per una dimostrazione diretta.
grazie dell'intervento
puoi essere più esplicito?
Mi autonomino esegeta ufficiale del dottor Gugo82
Pendo una generica coordinata $a_i$
Per ipotesi $A$ è perpendicolare ad ogni vettore, in particolare considero il vettore $X_i$ tale che la sua coordinata $x_i=1$ e tutte le altre sue coordinate sono zero. Abbiamo quindi per la definizione del prodotto scalare che $A*X_i=a_i$ , e per ipotesi anche che $A*X_i=0$, quindi...
Pendo una generica coordinata $a_i$
Per ipotesi $A$ è perpendicolare ad ogni vettore, in particolare considero il vettore $X_i$ tale che la sua coordinata $x_i=1$ e tutte le altre sue coordinate sono zero. Abbiamo quindi per la definizione del prodotto scalare che $A*X_i=a_i$ , e per ipotesi anche che $A*X_i=0$, quindi...
Perfetto grazie a tutti . Certo che per assurdo è più divertente però
. Certo che per assurdo è più divertente però
"Fioravante Patrone":
Mi autonomino esegeta ufficiale del dottor Gugo82
Ebbrav, hai esegito, no...
Hai esegiuto, nemmeno...
Hai esegitato, e no! Macomecavolo...
Insomma, hai capito bene!
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