[algebra] teorema completamento a base

[ocram3]

salve...mi scuso in anticipo se la domanda che sto per fare e' magari gia' stata risposta in precedenza su questo forum, ma il sistema di ricerca dei post non sempre riesco a farlo funzionare..il server non risponde e non so perche'.

cmq...il teorema del completamento a base (almeno nella versione che ho preso a lezione...sul libro che uso sinceramente non l'ho trovata...anche se mi pare strano..) afferma che

"sia V uno spazio vettoriale di dimensione "n", se v(1),....,v(k) (con k
la dimostrazione inizia col dire che, preso un vettore v(k+1) che NON appartiene a (che ho visto anche scrivere come span(v(1),....,v(k)), insomma, lo spazio generato dai quei vettori), allora, se si considerano tutti assieme i vettori v(1),...,v(k),v(k+1), questi risultano essere ancora indipendenti (e la cosa e' ovvia). A questo punto se k+1 non e' ancora uguale a n si itera il processo aggiungendo un vettore v(k+2) ecc ecc.
il problema e' che una volta arrivato a "n" non riesco a capire perche' il teorema e' dimostrato...quello che mi manca e' il perche' questi vettori trovati risultano essere generatori dello spazio V, la qual cosa, per quello che ne so, potrebbe anche non essere vera, cioe' potrei trovarmi con n vettori linearmente indipendenti che NON sono una base (anche se so che, usando appunto questo teorema, si dimostra facilmente che questo fatto non puo' accadere...pero' non trovo interessante dimostrare un teorema grazie al teorema stesso )

magari c'e' qualche ipotesi che non ho considerato e che invece e' essenziale...oppure mi sfugge qualche cosa...non so...qualcuno potrebbe darmi una mano?

ringrazio in anticipo per le risposte che (spero) di ricevere.


marco



p.s. ho usato la notazione un po' impropriamente la notazione v(1) per indicare un vettore con indice "1" (tanto per distinguerlo dagli altri..)

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by ocram

salve...mi scuso in anticipo se la domanda che sto per fare e' magari gia' stata risposta in precedenza su questo forum, ma il sistema di ricerca dei post non sempre riesco a farlo funzionare..il server non risponde e non so perche'.

cmq...il teorema del completamento a base (almeno nella versione che ho preso a lezione...sul libro che uso sinceramente non l'ho trovata...anche se mi pare strano..) afferma che

"sia V uno spazio vettoriale di dimensione "n", se v(1),....,v(k) (con k
la dimostrazione inizia col dire che, preso un vettore v(k+1) che NON appartiene a (che ho visto anche scrivere come span(v(1),....,v(k)), insomma, lo spazio generato dai quei vettori), allora, se si considerano tutti assieme i vettori v(1),...,v(k),v(k+1), questi risultano essere ancora indipendenti (e la cosa e' ovvia). A questo punto se k+1 non e' ancora uguale a n si itera il processo aggiungendo un vettore v(k+2) ecc ecc.
il problema e' che una volta arrivato a "n" non riesco a capire perche' il teorema e' dimostrato...quello che mi manca e' il perche' questi vettori trovati risultano essere generatori dello spazio V, la qual cosa, per quello che ne so, potrebbe anche non essere vera, cioe' potrei trovarmi con n vettori linearmente indipendenti che NON sono una base (anche se so che, usando appunto questo teorema, si dimostra facilmente che questo fatto non puo' accadere...pero' non trovo interessante dimostrare un teorema grazie al teorema stesso )

magari c'e' qualche ipotesi che non ho considerato e che invece e' essenziale...oppure mi sfugge qualche cosa...non so...qualcuno potrebbe darmi una mano?

ringrazio in anticipo per le risposte che (spero) di ricevere.


marco



p.s. ho usato la notazione un po' impropriamente la notazione v(1) per indicare un vettore con indice "1" (tanto per distinguerlo dagli altri..)

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Penso che devi ricordare la definizione di spazio vettoriale di dimensione finita n:

uno spazio vettoriale V ha dimensione finita n se esistono un sistema di n di vettori l.i. che lo generano, inoltre ogni insieme di n+1 vettori di V è l.d. (comunque esistono altre definizioni equivalenti a questa).
l.i.=linearmente indipendenti
l.d.=linearmente dipendenti

Quindi quando nel tuo procedimento giungi ad avere n vettori l.i. se ne esistesse un n+1-esimo contraddiresti l'ipotesi che V ha dimensione n.

Se eventualmente la tua definizione di spazio vettoriale di dimensione finita differisce postala e vediamo come ricondurla alla mia.

Ciao

Mistral

[ocram3]

mi sembra di aver afferrato il concetto.
grazie mille per la pronta risposta

marco

[ocram3]

no scusa, ritiro quello che ho detto...
mi sembrava di aver afferrato il concetto.
la definizione che mi hai dato mi serve a dire che "prima o poi" mi fermo nel procedimento, ovvero non posso trovare n+1 vettori linearmente indipendenti..
e a me va benissimo. ma quello che non mi e' chiaro e' il perche' questi vettori sono GENERATORI. proprieta' che, insieme all'indipendenza lineare, e' necessaria per dire che quei vettori sono una base...forse avevi capito bene e la risposta che hai dato comprende anche questo fatto, o forse mi ero spiegato male io..
non so..

grazie ancora

marco

[vecchio1]

forse introduco concetti che non hai ancora studiato ma provo a risponderti...
premetto che forse sarebbe opportuno che tu inserisca l'intera dimostrazione del libro per non incappare in qualche errata interpretazione..

...si dice base di uno spazio vettoriale, l'insieme dei vettori, linearmente indipendenti, la cui composizione lineare forma ogni vettore dello spazio vettoriale stesso...
quindi v=Span{v1,v2...vn}, dove v1, v2...vn sono i vettori della base, e v un vettore qualunque dello spazio vettoriale.

mi pare di capire che non ti convinca il fatto che, seppur esistano n vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale di dimensione n, questi possano generare qualunque vettore delle spazio vettoriale V (in modo univoco!!)
ebbene...analizziamo algebricamente il problema...
bisogna dimostrare che v=span{v1,v2...vn} per ogni v appertenente a V.

traduciamo il tutto in equazioni lineari...
v=a1v1+a2v2+..+anvn dove a1,a2...an sono i pesi dei vettori della base per la composizione lineare...

quindi

                (a1)
v=(v1 v2 ... vn)(a2)
                (..)
                (an)

questa è un equazione in cui a1, a2...an sono le incognite.
questo sistema ha soluzioni, o meglio, ha un'unica soluzione (condizione necessaria affinchè i vettori v1...vn sia una base per V)
solo se, dopo una riduzione a scala, ottieni una matrice triangolare superiore non singolare, in cui cioè il #pivot=alla dimensione dello spazio vettoriale V, in altre parole rg(matrice dei vettori della base)=n, dove n è il numero delle incognite del sistema (e quindi la dim(V).

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per comodità ora chiamerò la matrice dei vettori della base A.

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quindi in definitiva i vettori v1,v2,..vn sono una base per V se e solo se rg(A)=n.
ti ricordo che una delle definizioni di rango di una matrice è rg(A)=al numero delle righe (e colonne) linearmente indipendenti.
ora poichè le colonne della matrice A sono composte esattamente dai vettori v1,v2,..vn (che abbiamo già dimostrato essere linearmente indipendenti), le colonne della matrice A saranno linearmente indipendenti -->rg(A)=n --> il sistema è compatibile ed ammette un'uni9ca soluzione (per qualunque sia v).
abbiamo dimostrato dunque che se ho n vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale con dimensione n, allora queti costituiscono una base per lo spazio vettoriale.

chiaro??

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by ocram

no scusa, ritiro quello che ho detto...
mi sembrava di aver afferrato il concetto.
la definizione che mi hai dato mi serve a dire che "prima o poi" mi fermo nel procedimento, ovvero non posso trovare n+1 vettori linearmente indipendenti..
e a me va benissimo. ma quello che non mi e' chiaro e' il perche' questi vettori sono GENERATORI. proprieta' che, insieme all'indipendenza lineare, e' necessaria per dire che quei vettori sono una base...forse avevi capito bene e la risposta che hai dato comprende anche questo fatto, o forse mi ero spiegato male io..
non so..

grazie ancora

marco

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Premesso che tutto quello che scrive vecchio è giusto, penso che più semplicemente devi fare il seguente ragionamento. Se tu non riesci a trovare un vettore vn+1 che non sta in questo vuol dire che ogni vettore di V sta in . Ma siccome vale anche che ogni vettore di sta in V segue che V=, cioè V è generato da v1,v2,...,vn. In più v1,v2,...,vn sono l.i. quindi hai trovato la base.

Ciao se non ho interpretato bene il tuo dubbio fammi sapere.

Mistral

P.S. comunque la dimostrazione che ti ha fatto il tuo Prof non è costruttiva ne esistono di costruttive, nel senso che ti dicono praticamente come completare per arrivare ad una base.