[Algebra Lineare]Verifica sistema lineare Cramer
Salve, sono alle prese con il seguente esercizio sui sistemi lineari:
"Si stabilisca per quali valori del parametro reale h il seguente sistema è equivalente ad un sistema di Cramer"
${\(hx+y=1), (4x+3y=0), (x+hy=h), (2hx+hy+(1-2h)z=0):}$
$A) AAh in R; B)h=+1,-1,1/2; C)h= +1,-1; D)$Per nessun valore di h.
Non mi sono cimentato in alcun calcolo di determinante, rango eccetera, perché mi pare di aver intuito ad occhio che il sistema in questione non può essere equivalente ad un sistema di Cramer. Quindi penso che la risposta esatta sia la $D$.
E' corretto? Perché, sinceramente, non saprei proprio come applicare Cramer per risolvere un sistema del genere...
Vi ringrazio tanto!!
"Si stabilisca per quali valori del parametro reale h il seguente sistema è equivalente ad un sistema di Cramer"
${\(hx+y=1), (4x+3y=0), (x+hy=h), (2hx+hy+(1-2h)z=0):}$
$A) AAh in R; B)h=+1,-1,1/2; C)h= +1,-1; D)$Per nessun valore di h.
Non mi sono cimentato in alcun calcolo di determinante, rango eccetera, perché mi pare di aver intuito ad occhio che il sistema in questione non può essere equivalente ad un sistema di Cramer. Quindi penso che la risposta esatta sia la $D$.
E' corretto? Perché, sinceramente, non saprei proprio come applicare Cramer per risolvere un sistema del genere...
Vi ringrazio tanto!!
Risposte
Andare ad occhio può essere ..pericoloso !
Il sistema ha n=3 incognite ed n+1=4 equazioni ed in questo caso la compatibilità è
assicurata se la matrice completa ( cioè quella formata dai coeff. delle incognite e dai termini noti) ha
determinante nullo.
Tale matrice è : $((h,1,0,1),(4,3,0,0),(1,h,0,h),(2h,h,1-2h,0))$
ed il suo determinante ( facile da trovare se si parte dalla terza colonna ) è:
det=-(1-2h)(3h^2-3) che si annulla per $h=+-1,1/2$.La risposta esatta è dunque la (B)
Salvo errori...
Il sistema ha n=3 incognite ed n+1=4 equazioni ed in questo caso la compatibilità è
assicurata se la matrice completa ( cioè quella formata dai coeff. delle incognite e dai termini noti) ha
determinante nullo.
Tale matrice è : $((h,1,0,1),(4,3,0,0),(1,h,0,h),(2h,h,1-2h,0))$
ed il suo determinante ( facile da trovare se si parte dalla terza colonna ) è:
det=-(1-2h)(3h^2-3) che si annulla per $h=+-1,1/2$.La risposta esatta è dunque la (B)
Salvo errori...
Aspetta...Il determinante della completa si annulla per i valori che hai trovato tu. Vero. Però, per $h=1/2$ si annullano anche tutti i minori di ordine 3 della matrice incompleta (mentre quella completa, in tal caso, ha almeno un minore di ordine 3 non nullo), e lo stesso il sistema risulterebbe incompatibile avendo ranghi diversi. Al di là di ciò, comunque, l'esercizio non sta mettendo in dubbio che il sistema sia compatibile (o meglio, non mi sta chiedendo per quali valori esso risulta compatibile), ma se è possibile ricercare dei valori per i quali è equivalente ad un sistema di Cramer, e con tale metodo può essere risolto!
Per h=1/2 hai ragione.In effetti ho verificato la cosa solo per h=1 e h=-1 dando per scontato che
valesse anche per h=1/2.Per $h=+-1$ il sistema si riduce ad un normale sistema di Cramer 3x3 compatibile
( la prima e la terza equazione coincidono) e quindi la risposta dovrebbe essere la (C).
valesse anche per h=1/2.Per $h=+-1$ il sistema si riduce ad un normale sistema di Cramer 3x3 compatibile
( la prima e la terza equazione coincidono) e quindi la risposta dovrebbe essere la (C).
Caspita, è vero, prima e terza equazione coincidono! Non mi lascerò mai più trasportare dalla fretta andando ad occhio, altrimenti rischio di rimetterci l'esercizio (...e magari anche l'esame)! Grazie mille per tutto!!;)
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