[Algebra Lineare]Domande su sistemi lineari e spazi somma
1)
Per quali $a,b \in RR$ il sistema è compatibile e quali sono le soluzioni
${(x+y+az+bw=0),(x+y-az+bw=a+b),(ax+by+b^2z+(2ab)w=0):}$
Io ho trovato che il sistema dovrebbe esser compatibili $\forall a,b \in RR$ lavorando di minori ma poi...la soluzione la trovo usando anche gli $a,b$ dentro?
2)
Nello spazio vettoriale $RR_4[x]$, sia $V$ il sottospazio generato da $p_1(x),p_2(x),p_3(x)$ ($ p_1(x)=3x^3+2x^2-x+1, p_2(x)=x^4+x^3+2x^2+x, p_3(x)=3x^4+4x^3+3$) e $W$ generato da $q_1(x), q_2(x)$ ($q_1(x)=-x^3+2x^2+2x+7, q_2(x)=3x^4+7x^3+2x^2+3$)
Trovare la dimensione di $A:=V \cap W, B:=V+W$ e loro basi
Io qui ho provato a fare una sistema di intersezione con tutte e 5 le equazioni per trovare una base di $A$ ma dopo aver trovato una $5\times5$ non so andare avanti.
Per $B$ invece...come faccio??
Grazie e scusate la banalità delle domande
Per quali $a,b \in RR$ il sistema è compatibile e quali sono le soluzioni
${(x+y+az+bw=0),(x+y-az+bw=a+b),(ax+by+b^2z+(2ab)w=0):}$
Io ho trovato che il sistema dovrebbe esser compatibili $\forall a,b \in RR$ lavorando di minori ma poi...la soluzione la trovo usando anche gli $a,b$ dentro?
2)
Nello spazio vettoriale $RR_4[x]$, sia $V$ il sottospazio generato da $p_1(x),p_2(x),p_3(x)$ ($ p_1(x)=3x^3+2x^2-x+1, p_2(x)=x^4+x^3+2x^2+x, p_3(x)=3x^4+4x^3+3$) e $W$ generato da $q_1(x), q_2(x)$ ($q_1(x)=-x^3+2x^2+2x+7, q_2(x)=3x^4+7x^3+2x^2+3$)
Trovare la dimensione di $A:=V \cap W, B:=V+W$ e loro basi
Io qui ho provato a fare una sistema di intersezione con tutte e 5 le equazioni per trovare una base di $A$ ma dopo aver trovato una $5\times5$ non so andare avanti.
Per $B$ invece...come faccio??
Grazie e scusate la banalità delle domande
Risposte
perchè su uno + semplice
Per quali $a \in RR$ il sistema è compatibile e quali sono le soluzioni
${(x+y+z+aw=a^2-1),(x+ay-az+w=a),(x+y+z=a+1):}$
Provo con i minori e trovo $2a => a =0$ quindi provo con quello e vedo che il rango della matrice completa è 2 ma quella dei coefficenti 1 quindi il sitema non è solubile.
Con $a\ne0$ la completa ha rango 3 ma quella dei coefficenti 2...ancora non solubile...
Per quali $a \in RR$ il sistema è compatibile e quali sono le soluzioni
${(x+y+z+aw=a^2-1),(x+ay-az+w=a),(x+y+z=a+1):}$
Provo con i minori e trovo $2a => a =0$ quindi provo con quello e vedo che il rango della matrice completa è 2 ma quella dei coefficenti 1 quindi il sitema non è solubile.
Con $a\ne0$ la completa ha rango 3 ma quella dei coefficenti 2...ancora non solubile...
Temo che $ p_1(x)$ non sia scritto correttamente...
$p_1(x) = 3x^3+2x^2-x+1$...hai ragione... ma cmq rimango sempre con il dubbio... :'(
tanto che ci sono una domandina lampo... ma se in R^4 5 vettori che generano un sottospazio...per estrarne una base ne tolgo uno e controlla l'indipendenza lineare, no?
Comunque mi sto scervellando per i sistemi ma a parte discutere con minori mi fermo..
Comunque mi sto scervellando per i sistemi ma a parte discutere con minori mi fermo..
"Luc@s":
1)
Per quali $a,b \in RR$ il sistema è compatibile e quali sono le soluzioni
${(x+y+az+bw=0),(x+y-az+bw=a+b),(ax+by+b^2z+(2ab)w=0):}$
Questo sistema può essere scritto come:
$[[1,1,a,b],[1,1,-a,b],[a,b,b^2, 2ab]]*[[x],[y],[z],[w]] = [[0],[a+b],[0]]$
Un teorema dice che il sistema è compatibile se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa, verifichiamolo:
$rg[[1,1,a,b],[1,1,-a,b],[a,b,b^2, 2ab]] = rg[[1,1,a,b,0],[1,1,-a,b,a+b],[a,b,b^2, 2ab,0]]$
Se fai due conti vedi che:
$rg[[1,1,a,b],[1,1,-a,b],[a,b,b^2, 2ab]] = {(1 text{ se } b-a=ab=0 Rightarrow a=b=0),(2 text{ se } a=0), (3 text{ altrimenti}):}$
e negli stessi casi:
$rg[[1,1,a,b,0],[1,1,-a,b,a+b],[a,b,b^2, 2ab,0]] = {(1 text{ se } b-a=ab=0 Rightarrow a=b=0), (3 text{ altrimenti}):}$
Il sistema è compatibile per $C={(a,b) in RR: (a,b)=(0,0) V (a,b)!=(0,b)}$
Io ho trovato che il sistema dovrebbe esser compatibili $\forall a,b \in RR$ lavorando di minori ma poi...la soluzione la trovo usando anche gli $a,b$ dentro?
Una volta che hai discusso il tutto ovviamente i parametri $a,b$ compariranno nella soluzione. In questo caso infatti (tralascio alcuni conti):
${(x+y+az+wb=0),(2az=-a-b),((b-a)y+b(b-a)z+abw =0):}$
Da cui $z=-(a+b)/2a$ (osserva che avevamo chiesto che $a$ non fosse zero!)
E poi il resto segue abbastanza semplicemente!
2)
Nello spazio vettoriale $RR_4[x]$, sia $V$ il sottospazio generato da $p_1(x),p_2(x),p_3(x)$ ($ p_1(x)=3x^2+2x^2-x+1, p_2(x)=x^4+x^3+2x^2+x, p_3(x)=3x^4+4x^3+3$) e $W$ generato da $q_1(x), q_2(x)$ ($q_1(x)=-x^3+2x^2+2x+7, q_2(x)=3x^4+7x^3+2x^2+3$)
Trovare la dimensione di $A:=V \cap W, B:=V+W$ e loro basi
Io qui ho provato a fare una sistema di intersezione con tutte e 5 le equazioni per trovare una base di $A$ ma dopo aver trovato una $5\times5$ non so andare avanti.
Per $B$ invece...come faccio??
Grazie e scusate la banalità delle domande
Ricordati la fondamentale formula di dimensioni:
$dim(VUW)=dimW + dimV - dim(VnnW)$
Fai un tentativo e fammi sapere!
"Lord K":
Questo sistema può essere scritto come:
$[[1,1,a,b],[1,1,-a,b],[a,b,b^2, 2ab]]*[[x],[y],[z],[w]] = [[0],[a+b],[0]]$
Un teorema dice che il sistema è compatibile se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa, verifichiamolo:
$rg[[1,1,a,b],[1,1,-a,b],[a,b,b^2, 2ab]] = rg[[1,1,a,b,0],[1,1,-a,b,a+b],[a,b,b^2, 2ab,0]]$
Se fai due conti vedi che:
$rg[[1,1,a,b],[1,1,-a,b],[a,b,b^2, 2ab]] = {(1 text{ se } b-a=ab=0 Rightarrow a=b=0),(2 text{ se } a=0), (3 text{ altrimenti}):}$
e negli stessi casi:
$rg[[1,1,a,b,0],[1,1,-a,b,a+b],[a,b,b^2, 2ab,0]] = {(1 text{ se } b-a=ab=0 Rightarrow a=b=0), (3 text{ altrimenti}):}$
Il sistema è compatibile per $C={(a,b) in RR: (a,b)=(0,0) V (a,b)!=(0,b)}$
Ok, il Th. del Binet me lo ricordo.
Faccio la casistica così, distinguendo i casi
Una volta che hai discusso il tutto ovviamente i parametri $a,b$ compariranno nella soluzione. In questo caso infatti (tralascio alcuni conti):
${(x+y+az+wb=0),(2az=-a-b),((b-a)y+b(b-a)z+abw =0):}$
Da cui $z=-(a+b)/2a$ (osserva che avevamo chiesto che $a$ non fosse zero!)
E poi il resto segue abbastanza semplicemente!
Quindi sostituisco all'indietro?
Ricordati la fondamentale formula di dimensioni:
$dim(VUW)=dimW + dimV - dim(VnnW)$
Fai un tentativo e fammi sapere!
Quindi uso
$dim(V\capW)=dimW + dimV - dim(V\cupW)$
della seconda parte io so che $dimV=3$ e $dim(W)=2$ quindi $dim(V\cupW)=5 => dim(V\capW)=0$
Quindi sostituisco all'indietro?
Esattamente!
Quindi uso
$dim(V\capW)=dimW + dimV - dim(V\cupW)$
della seconda parte io so che $dimV=3$ e $dim(W)=2$ quindi $dim(V\cupW)=5 => dim(V\capW)=0$
Se hai verificato tutte le indipendenze mi pare che il ragionamento sia giusto! Per i calcoli poi meglio se ricontrolli!
ok..ora ho capito come muovermi...grazie!
Per trovare una base di $V+W$ invece basta che n estraggo una "comune" tra i due spazi e la sua dim l'ho trovata e poi uso la formula di sopra per calcolarne la dimensione..
Per trovare una base di $V+W$ invece basta che n estraggo una "comune" tra i due spazi e la sua dim l'ho trovata e poi uso la formula di sopra per calcolarne la dimensione..
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