[Algebra Lineare]Diagonalizzaione endomorfismi!
Rieccomi con un altro esercizietto di algebra linere 
Sia F un endomorfismo di $RR^3$ cosi definito
$F(x,y,z)=(x,hx+y-4z,x-z)$ dire per quali valori di h l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Allora io mi sono trovato la matrice associata alla rappresentazione di F cioè:
$A=((1,0,0),(h,1,-4),(1,0,-1))$
dopodiche mi sono trovato gli autovalori di F e mi viene $t=1 a_{1}=2$ , $t=-1 a_{-1}=1$
Ora un endomorfismo è diagonalizzabile quando ha tutte le radici del polinomio caratteristico in K e la molteplicita algebrica degli autovolari corrisponde a quella geometrica(giusto??).
Quindi ho considerato prima il caso t=1 con molteplicita algebrica =2, sostituisco in $A-tDelta$ e ottengo
$((0,0,0),(h,2,-4),(1,0,-2))$ affinche la moltplecita geometrica di t=1 sia 2 occorre che la dimensione dell'autospazio associato a 1 sia 2, considerando che la dimensione di quest'autospazio ci è fornita dalla dimensione di $RR^3$ meno il rango della matrice $A-tDelta$ occorre che il rango di questa matrice sia uguale a 1, e questo si verifica quando h=2.
Ora analiziamo il caso t=-1 con molteplicita algebrica 1, la matrice $A+Delta$ è :
$((2,0,0),(h,2,-4),(1,0,0))
occorre quindi che il rango di questa matrice sia uguale a 2 cosi la dimensione dell'autospazio relativa sara 1, il rango di questa matrice è uguale a due per ogni valore di valore di h quindi posso concludere che F è diagonalizzabile per h=2.
Raga siccome ho poca pratica con questi esercizi potreste confermarmi (o smentirmi) se il ragionamento che ho seguito è corretto?
2)Sia F l'endomorfismo di $RR^3$ cosi definito :
$F(x,y,z)=(hx+hy,x+y,2hx+3hy+hz)$
Dire per quali valori di h l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Non sono riuscito a svolgerlo poichè mi compare il parametro h quando trovo gli autovolari e non so come rpocedere, cortesemente qualcuno potrebbe mostrarmi come procedere per lo svolgimento di questo secondo esercizio?
Grazie mille in anticipo per le eventuali risposte e la disponibilita.
Sia F un endomorfismo di $RR^3$ cosi definito
$F(x,y,z)=(x,hx+y-4z,x-z)$ dire per quali valori di h l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Allora io mi sono trovato la matrice associata alla rappresentazione di F cioè:
$A=((1,0,0),(h,1,-4),(1,0,-1))$
dopodiche mi sono trovato gli autovalori di F e mi viene $t=1 a_{1}=2$ , $t=-1 a_{-1}=1$
Ora un endomorfismo è diagonalizzabile quando ha tutte le radici del polinomio caratteristico in K e la molteplicita algebrica degli autovolari corrisponde a quella geometrica(giusto??).
Quindi ho considerato prima il caso t=1 con molteplicita algebrica =2, sostituisco in $A-tDelta$ e ottengo
$((0,0,0),(h,2,-4),(1,0,-2))$ affinche la moltplecita geometrica di t=1 sia 2 occorre che la dimensione dell'autospazio associato a 1 sia 2, considerando che la dimensione di quest'autospazio ci è fornita dalla dimensione di $RR^3$ meno il rango della matrice $A-tDelta$ occorre che il rango di questa matrice sia uguale a 1, e questo si verifica quando h=2.
Ora analiziamo il caso t=-1 con molteplicita algebrica 1, la matrice $A+Delta$ è :
$((2,0,0),(h,2,-4),(1,0,0))
occorre quindi che il rango di questa matrice sia uguale a 2 cosi la dimensione dell'autospazio relativa sara 1, il rango di questa matrice è uguale a due per ogni valore di valore di h quindi posso concludere che F è diagonalizzabile per h=2.
Raga siccome ho poca pratica con questi esercizi potreste confermarmi (o smentirmi) se il ragionamento che ho seguito è corretto?
2)Sia F l'endomorfismo di $RR^3$ cosi definito :
$F(x,y,z)=(hx+hy,x+y,2hx+3hy+hz)$
Dire per quali valori di h l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Non sono riuscito a svolgerlo poichè mi compare il parametro h quando trovo gli autovolari e non so come rpocedere, cortesemente qualcuno potrebbe mostrarmi come procedere per lo svolgimento di questo secondo esercizio?
Grazie mille in anticipo per le eventuali risposte e la disponibilita.
Risposte
Lo svolgimento del primo esercizio mi sembra corretto, senonché nella posizione (2,2) della seconda matrice che hai scritto deve comparire uno 0 e non un 2.
Quanto al secondo, gli autovalori risultano essere
0,
h,
h+1.
Se essi sono a due a due distinti allora la matrice è diagonalizzabile (perché ognuno avrà nullità al più 1 e al meno 1).
Se invece c'è un "collasso" e due autovalori coincidono bisogna studiare la situazione risultante.
È chiaro che h e h+1 sono distinti per ogni valore di h, quindi i casi da studiare sono i seguenti:
- primo autovalore uguale al secondo: 0=h;
- primo autovalore uguale al terzo: 0=h+1.
Ora si tratta di fare due studi "standard". Quando h=0 l'endomorfismo viene diagonalizzabile, quando h+1=0 invece no.
Quindi la soluzione è: $h \ne -1$.
Quanto al secondo, gli autovalori risultano essere
0,
h,
h+1.
Se essi sono a due a due distinti allora la matrice è diagonalizzabile (perché ognuno avrà nullità al più 1 e al meno 1).
Se invece c'è un "collasso" e due autovalori coincidono bisogna studiare la situazione risultante.
È chiaro che h e h+1 sono distinti per ogni valore di h, quindi i casi da studiare sono i seguenti:
- primo autovalore uguale al secondo: 0=h;
- primo autovalore uguale al terzo: 0=h+1.
Ora si tratta di fare due studi "standard". Quando h=0 l'endomorfismo viene diagonalizzabile, quando h+1=0 invece no.
Quindi la soluzione è: $h \ne -1$.
Capito , grazie mille
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