[Algebra Lineare]Applicazioni lineari

[Yayoyoddu]

Qualcuno mi chiarisce come funziona un applicazione lineare? Prima in generale e poi associata a una matrice.
Premetto ho già letto la teoria ed ho afferrato il "grosso" però non riesco a capire che vantaggio danno, insomma ho finito di studiare ed ho ancora la sensazioni di avere un mare di concetti teorici senza un senso logico che collega il tutto. Penso che manchi il "collante" ed il problema è che nel libro non lo trovo.

Mi chiarite le idee?

[Megan00b]

Il collante è il fatto che la proprietà di linearità dell'applicazione la rende <> nell'utilizzo.
Cosa voglia dire <> è <> da dire. Meglio procedere per esempi trascurando il formalismo.
Innanzitutto la linearità di un'applicazione fu vuol dire che essa è:
1) omogenea: f(ax)=af(x)
2) additiva: f(x+y)=f(x)+f(y).
UN primo esempio di facilità è:
supponendo di conoscere f(pippo) per un certo pippo nel dominio l'omogeneità implica la conoscenza delle immagini di tutta la retta {$alpha$ pippo|$alpha$ ...}. Per un'applicazione generica conoscere f(x) non dà alcuna informazione su f(2x),f(3x),...f($pi$x) eccetera. NElle applicazioni lineari invece basta un elemento per conoscere tutto il resto.
Aggiungendo l'additività il gioco è ancora più interessante: conoscendo f(x) e f(y) conosci f(x+y) ma anche f(2x+y), f(x+17y) eccetera.
E' come dire che l'applicazione viene <> all'interno dell'immagine di alcuni elementi da cui è possibile ricavare tutti gli altri. Da questa idea vengono i concetti di sistema di generatori e di base. Ovvero: prendi un certo numero di elementi del dominio che non siano troppi ma nemmeno troppo pochi e usi le loro immagini per descrivere il comportamento della funzione su tutto il dominio.
Per quanto riguarda le matrici, esse forniscono un modo pratico agile per estrarre informazioni sulla funzione, sia sul suo comportamento globale sia su quello locale (autoteoria e cose più complicate). Inoltre permettono di studiare la funzione agilmente anche se si cambia la base semplicemente con un doppio prodotto di matrici.

L'altra caratteristica fondamentale delle applicazioni lineari è che esse geometricamente <> delle rette quindi spuntano in qualunque procedimento di approssimazione (differenziale...). Inoltre alcune operazioni famose risultano essere funzioni lineari o oggetti molto simili ad esse: l'operatore di derivazione, l'integrale eccetera sono esempi famosi di operatori lineari ovvero funzioni di funzioni che rispettano le due proprietà di cui sopra.

[Yayoyoddu]

Ok fin qui tutto chiaro.... Altra domanda:
Se io ho una matrice m x n (m righe, n colonne) in cui i miei vettori sonno le righe (o almeno credo) l'applicazione lineare mi trasforma i miei vettori riga in vettori colonna?
dico bene? correggetemi se sbaglio.
Se la mia domanda è corretta che vantaggio ho considerando le soluzioni di un sistema Ax=b (A Matrice, b vettore dei termini noti)