[Algebra Lineare]Applicazione lineare con parametro
Salve, ho il seguente esercizio di Algebra lineare:
Si stabilisca per quali valori del parametro reale h la seguente funzione $f: R^4->R^4$ è lineare:
$f(x,y,z,t) = (x+hy, (h-1)z,0,(h-2)t^2)$
Desidererei sapere quale condizione porre per determinare i valori di h affinché l'applicazione sia lineare.
Vi ringrazio tanto per l'aiuto!!
Si stabilisca per quali valori del parametro reale h la seguente funzione $f: R^4->R^4$ è lineare:
$f(x,y,z,t) = (x+hy, (h-1)z,0,(h-2)t^2)$
Desidererei sapere quale condizione porre per determinare i valori di h affinché l'applicazione sia lineare.
Vi ringrazio tanto per l'aiuto!!
Risposte
"gentah":
Salve, ho il seguente esercizio di Algebra lineare:
Si stabilisca per quali valori del parametro reale h la seguente funzione $f: R^4->R^4$ è lineare:
$f(x,y,z,t) = (x+hy, (h-1)z,0,(h-2)t^2)$
Desidererei sapere quale condizione porre per determinare i valori di h affinché l'applicazione sia lineare.
Esercizio molto semplice:
le variabili non devono avere grado $> 1$ e non ci devono essere termini noti.
Concludi da solo.
Quindi questa non è mai un'applicazione lineare (= per nessun valore di h)?
Però ho il dubbio che possa essere anche per h=2, avendo quindi $(2-2)t^2 =0$...
Però ho il dubbio che possa essere anche per h=2, avendo quindi $(2-2)t^2 =0$...
"gentah":
Quindi questa non è mai un'applicazione lineare (= per nessun valore di h)?
Però ho il dubbio che possa essere anche per h=2, avendo quindi $(2-2)t^2 =0$...
La soluzione è proprio $h=2$.
In quel caso "scompare" $t^2$ e l'applicazione è lineare.
Ti ringrazio tantissimo! Già che mi trovo, visto che l'esercizio è più o meno simile, vorrei chiederti se per trovare i valori del parametro reale k per i quali la funzione $f: R^3->R^(2,2)$ definita ponendo $f (a,b,c) = [[a+k,b+k^(2)-k],[b+k^(2)-k,a+kc]]$ è lineare devo porre il determinante della matrice uguale a zero!
"gentah":
Ti ringrazio tantissimo! Già che mi trovo, visto che l'esercizio è più o meno simile, vorrei chiederti se per trovare i valori del parametro reale k per i quali la funzione $f: R^3->R^2,2$ definita ponendo $f (a,b,c) = [[a+k,b+k^(2)-k],[b+k^(2)-k,a+kc]]$ è lineare devo porre il determinante della matrice uguale a zero!
Scusa ma cosa c'entra il determinante?
L'applicazione $f$ è affine (in generale però non lineare) perché il grado delle variabili è $<= 1$.
Per essere lineare non ci devono però essere termini noti.
Ti è chiaro?
Scusa ma cosa c'entra il determinante?
L'applicazione f è lineare perché il grado delle variabili è ≤1.
Il parametro k può avere il grado che vuole perché tu studi l'applicazione
una volta fissato il k.
Ti è chiaro?
Sì sì, questo mi è chiaro...mi inganna il fatto che sia posta come una matrice!
Ok, considera che la struttura di matrice in questo esercizio non ha molta importanza.
In pratica puoi considerare la matrice 2 x 2 come un vettore di $RR^4$.
In pratica puoi considerare la matrice 2 x 2 come un vettore di $RR^4$.
f(ax+by)=af(x)+bf(y) e quindi h deve essere =0 se è un addendo.
In pratica, con $k=0$, si ottiene l'applicazione lineare seguente:
$f (a,b,c) = [[a,b],[b,a]]$
$f (a,b,c) = [[a,b],[b,a]]$
"franced":
In pratica, con $k=0$, si ottiene l'applicazione lineare seguente:
$f (a,b,c) = [[a,b],[b,a]]$
Per $k ne 0$, ad esempio $k=1$ abbiamo l'applicazione affine (ma non lineare) seguente:
$f(a,b,c) = [[a+1,b],[b,a+c]]$
Tieni conto che
$f(0,0,0) = [[1,0],[0,0]] ne [[0,0],[0,0]]$
e quindi, se $k=1$, l'applicazione $f$ non è lineare.
Grazie infinite, una spiegazione chiarissima ed efficiente! Grazie davvero!!
"gentah":
Grazie infinite, una spiegazione chiarissima ed efficiente! Grazie davvero!!
Figurati!
Se hai altri problemi mettili pure nel forum!
Esercizio di verifica: per quali valori di h la funzione $ f: R^2->R^3$ $f(x,y) = (x+y, x-hy, x-h)$ è lineare.
La funzione è lineare se e solo se h=0, infatti, ad esempio, solo in tal caso si otterrebbe $f(0,0) = (0,0,0)$. Quindi h=0.
Spero sia giusto...;___;
La funzione è lineare se e solo se h=0, infatti, ad esempio, solo in tal caso si otterrebbe $f(0,0) = (0,0,0)$. Quindi h=0.
Spero sia giusto...;___;
"gentah":
Esercizio di verifica: per quali valori di h la funzione $ f: R^2->R^3$ $f(x,y) = (x+y, x-hy, x-h)$ è lineare.
La funzione è lineare se e solo se h=0, infatti, ad esempio, solo in tal caso si otterrebbe $f(0,0) = (0,0,0)$. Quindi h=0.
Spero sia giusto...;___;
Ok, è giusto.
Considera, in ogni caso, che $f((0),(0))=((0),(0),(0))$ è una condizione necessaria, non sufficiente.
Devi infatti controllare anche il grado delle variabili.
Prova con questo esercizio che mi invento sul momento:
$g((x),(y),(z)) = ((x^2 + hy),(2h^3x - z),(x+y-(h^2+3h)z))$
per ogni $h \in RR$ abbiamo
$g((0),(0),(0)) = ((0),(0),(0))$
ma l'applicazione non è lineare per nessun $h$ in quanto c'è $x^2$.
Ti propongo un altro esercizio:
$f : RR^3 -> RR^2$
$f((x),(y),(z)) = ((x - ky + k),(k^2 x - (k+1)y - k + 1))$
dire per quali valori di $k$ l'applicazione è lineare.
$f : RR^3 -> RR^2$
$f((x),(y),(z)) = ((x - ky + k),(k^2 x - (k+1)y - k + 1))$
dire per quali valori di $k$ l'applicazione è lineare.
E anche questo:
dire per quali valori di $k$ e $h$ $\in RR$ l'applicazione $F : RR^3 -> RR^4$
$F((x),(y),(z)) = ((k x^2 + y - z + 2h - 4),(x - hy - 3z),(x + y + k^2 z),(x - z + k))$
è lineare.
dire per quali valori di $k$ e $h$ $\in RR$ l'applicazione $F : RR^3 -> RR^4$
$F((x),(y),(z)) = ((k x^2 + y - z + 2h - 4),(x - hy - 3z),(x + y + k^2 z),(x - z + k))$
è lineare.
Per il primo esercizio, dovrebbe essere k=0 e k=1; per il secondo, invece, k=0 e h=2. Per il secondo esercizio sono quasi sicuro, mentre per il primo mi sembra strano ci siano due valori del parametro...speriamo bene!
ok il secondo è giusto
mentre per il primo, come sospetti giustamente, non possono esserci due valori di $k$ diversi; la prima componente è lineare per $k=0$, se sostituisci tale valore nella seconda componente ottieni $-y+1$ che non è lineare.
mentre per il primo, come sospetti giustamente, non possono esserci due valori di $k$ diversi; la prima componente è lineare per $k=0$, se sostituisci tale valore nella seconda componente ottieni $-y+1$ che non è lineare.
"gentah":
Per il primo esercizio, dovrebbe essere k=0 e k=1; per il secondo, invece, k=0 e h=2. Per il secondo esercizio sono quasi sicuro, mentre per il primo mi sembra strano ci siano due valori del parametro...speriamo bene!
No, la funzione
$f((x),(y),(z)) = ((x - ky + k),(k^2 x - (k+1)y - k + 1))$
non può essere lineare per nessun $k$.
Basta infatti ragionare sui termini noti.
"franced":
[quote="gentah"]Per il primo esercizio, dovrebbe essere k=0 e k=1; per il secondo, invece, k=0 e h=2. Per il secondo esercizio sono quasi sicuro, mentre per il primo mi sembra strano ci siano due valori del parametro...speriamo bene!
No, la funzione del primo esercizio non può essere lineare per nessun $k$.
Basta infatti ragionare sui termini noti.[/quote]
In ogni caso ti do un bel consiglio: quando trovi dei valori del/dei parametro/i
sostituiscili nell'espressione dell'applicazione: non puoi trovare variabili con grado $>1$
e non ci devono essere termini noti.
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