Algebra lineare..aiuto!
come posso risolvere questo esercizio...???????
Sia α €Hom(R3,M2(R)): (a,b,c) matrice: I riga a 0 II riga o b
Trovare kerα e Imα
Sia φ€(R3,R): φ(x,y)=x1y1+2(x1y2+x2y1).trovare il nucleo E’ della forma; trovare E’∩kerα
Sia α €Hom(R3,M2(R)): (a,b,c) matrice: I riga a 0 II riga o b
Trovare kerα e Imα
Sia φ€(R3,R): φ(x,y)=x1y1+2(x1y2+x2y1).trovare il nucleo E’ della forma; trovare E’∩kerα
Risposte
Non riesco a decifrare il testo .
Sia alfa €Hom $(R^3,M_2(R))$: (a,b,c)--> matrice: a 0
0 b
Trovare ker alfa; e Im alfa;
Sia φ€$(R^3,R): φ(x,y)=x_1y_1+2(x_1y_2+x_2y_1)$
trovare il nucleo E’ della forma; trovare E’ intersecato a keralfa
0 b
Trovare ker alfa; e Im alfa;
Sia φ€$(R^3,R): φ(x,y)=x_1y_1+2(x_1y_2+x_2y_1)$
trovare il nucleo E’ della forma; trovare E’ intersecato a keralfa
davvero nessuno mu più aiutare??? 
Dunque se ben capisco abbiamo ( I esercizio) una trasformazione lineare tra $RR^3$ e le matrici reali di ordine 2 cioè $M_2(R)$.
Più precisamente il generico vettore di $RR^3$ , quindi $(a,b,c)$ viene trasformato nella matrice $ [(a,0),(o,b)]$ che non contiene $c $ .
$Ker f $è la controimmagine del vettore nullo dello spazio di arrivo e quindi è la controimmagine della matrice nulla $[(0,0),(0,0)]$.
Pertanto $ ker f = ( 0,0,c ) $ .$ Dim ker f = 1 $; una sola variabile libera $ c $ .
$Im f $ cosa sarà ? il sottospazio delle matrici diagonali (2x2) con Dimensione = 2 . $Dim$ $ Im f = 2 $ , ci sono infatti 2 variabili libere $ a, b $.
S.E.O.
Più precisamente il generico vettore di $RR^3$ , quindi $(a,b,c)$ viene trasformato nella matrice $ [(a,0),(o,b)]$ che non contiene $c $ .
$Ker f $è la controimmagine del vettore nullo dello spazio di arrivo e quindi è la controimmagine della matrice nulla $[(0,0),(0,0)]$.
Pertanto $ ker f = ( 0,0,c ) $ .$ Dim ker f = 1 $; una sola variabile libera $ c $ .
$Im f $ cosa sarà ? il sottospazio delle matrici diagonali (2x2) con Dimensione = 2 . $Dim$ $ Im f = 2 $ , ci sono infatti 2 variabili libere $ a, b $.
S.E.O.
invece per trovare il nucleo E' della forma è giusto così? 
matrice:
1 2
2 0
il det è -4 quindi il rango è 2
dim Im=2 ker=1
ora devo mettere a sistema
$x_1 + 2 x_2=0$
$2x_2=0$
ma in questo modo trovo (0,0) è giusto?
matrice:
1 2
2 0
il det è -4 quindi il rango è 2
dim Im=2 ker=1
ora devo mettere a sistema
$x_1 + 2 x_2=0$
$2x_2=0$
ma in questo modo trovo (0,0) è giusto?
Mi pare di sì.
Però non capisco perché dici $\varphi \in (R^3,R)$ (a parte che non capisco nemmeno la notazione) perché: dove spunta fuori $RR^3$?
Io l'ho interpretato così: sia
$\varphi:RR^2 \times RR^2 \to RR,\ (x,y) \to x_1y_1+2(x_1y_2+x_2y_1)$
dove $x=(x_1,x_2)$ e $y=(y_1,y_2)$.
Questa è una forma bilineare simmetrica, e si può scrivere
$\varphi(x,y)=(x_1,x_2)((1,2),(2,0))((y_1),(y_2))$
Quindi il nucleo di tale forma bilineare (inteso come: lo spazio dei $x \in RR^2$ tali che $\varphi(x,y)=0$ per ogni $y \in RR^2$) consiste del solo vettore nullo (essendo la matrice associata non degenere).
Però non capisco perché dici $\varphi \in (R^3,R)$ (a parte che non capisco nemmeno la notazione) perché: dove spunta fuori $RR^3$?
Io l'ho interpretato così: sia
$\varphi:RR^2 \times RR^2 \to RR,\ (x,y) \to x_1y_1+2(x_1y_2+x_2y_1)$
dove $x=(x_1,x_2)$ e $y=(y_1,y_2)$.
Questa è una forma bilineare simmetrica, e si può scrivere
$\varphi(x,y)=(x_1,x_2)((1,2),(2,0))((y_1),(y_2))$
Quindi il nucleo di tale forma bilineare (inteso come: lo spazio dei $x \in RR^2$ tali che $\varphi(x,y)=0$ per ogni $y \in RR^2$) consiste del solo vettore nullo (essendo la matrice associata non degenere).
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