Algebra lineare: tovare la dimensione dello spazio...

[simos_89]

Salve a tutti... qualcuno mi sa dire come trovare la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema

$f_{t} ((x1,x2,x3)) = ((x1 + 2x2 + x3),(2x1 + 4x2 + tx3),(tx1 + x3))$

il determinante è $ t(2t-4) $

e si annulla in 0 e 2 (la matrice ha rango 3 se $ t!= 0 $ e $ t != 2$ , altrimenti rango 2).

$f_{t} ((x1,x2,x3)) = ((4),(4),(2))$


quindi per il teorema di Rouché-Capelli deve essere rank (A) = rank (A|B), ma come faccio a determinare la dimensione?

Grazie 1000 per l'aiuto!

[jivi85]

Dai vaghi ricordi che ho io di algebra lineare, la dimensione dello spazio dovrebbe essere proprio il rango! dunque nel tuo caso ... 2!ma non te lo assicuro..

[chiaratlc]

Dato che la dimensione di uno spazio e proprio il rango, secondo me quando hai che t è diverso da 0 e da 2 dato che il rango è 3 cosi sarà anche la dimensione dello spazio. Viceversa per altri t, la dimensione sarà 2...

[simos_89]

"Sergio":Scusate, ma non ci sto capendo nulla.

[quote="simos_89"]Salve a tutti... qualcuno mi sa dire come trovare la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema

$f_{t} ((x1,x2,x3)) = ((x1 + 2x2 + x3),(2x1 + 4x2 + tx3),(tx1 + x3))$

E questo sarebbe un sistema???
Per esserlo, dovrei avere equazioni, ma non ne vedo.
Direi che si tratta invece della definizione di un'applicazione $f:RR^3 to RR^3$. Un'altra cosa.

Supponiamo, comunque, che si cerchi il nucleo di quell'applicazione. In questo caso, si tratterebbe di impostare il sistema omogeneo:
${(x1 + 2x2 + x3=0),(2x1 + 4x2 + tx3=0),(tx1 + x3=0) :}$

"simos_89":il determinante è $ t(2t-4) $
e si annulla in 0 e 2 (la matrice ha rango 3 se $ t!= 0 $ e $ t != 2$ , altrimenti rango 2).

Corretto.

"simos_89":$f_{t} ((x1,x2,x3)) = ((4),(4),(2))$

Questo non capisco da dove viene fuori.

"simos_89":quindi per il teorema di Rouché-Capelli deve essere rank (A) = rank (A|B), ma come faccio a determinare la dimensione?

E qui arriva il bello.....

"jivi85":Dai vaghi ricordi che ho io di algebra lineare, la dimensione dello spazio dovrebbe essere proprio il rango! dunque nel tuo caso ... 2!ma non te lo assicuro..

"chiaratlc":Dato che la dimensione di uno spazio e proprio il rango...

Evviva la cautela di jivi85!
La dimensione dello spazio delle soluzioni è la differenza tra il numero delle incognite e il rango! Si usa spesso dire che, se il rango è minore del numero $n$ delle incognite (qui 3: $x_1,x_2,x_3$), allora vi sono $oo^(n-"rk"(A))$ soluzioni.
È un modo di dire non proprio corretto, ma aiuta (dovrebbe aiutare) a ricordare che la dimensione dello spazio delle soluzioni è $n$ meno il rango (cfr. Teorema di Rouché-Capelli).

Cosa vuol dire nel caso in esame?
Che se $t=0$ o $t=2$ allora la dimensione del nucleo dell'applicazione è 1 (3 meno il rango di $A$).
Per altri valori di $t$, invece, il rango di $A$ è 3, quindi la dimensione del nucleo è 0 ed è quindi 3, uguale al rango, la dimensione dell'immagine dell'applicazione (per $t=0$ o $t=2$ la dimensione dell'immagine è invece 2).
Quello che è uguale al rango, quindi, è la dimensione dell'immagine dell'applicazione (cfr. Teorema della nullità e del rango).[/quote]



grazie Sergio per la risposta molto esauriente. Forse avrò scritto male...comunque il primo è un'applicazione lineare, è il secondo il sistema...

"simos_89":$f_{t} ((x1,x2,x3)) = ((4),(4),(2))$

grazie ancora...